Hiểu ƯCLN và BCNN cùng nhau
ƯCLN và BCNN nằm ở hai đầu của một cặp câu hỏi liên quan: ƯCLN tìm thừa số chung lớn nhất, còn BCNN tìm bội chung nhỏ nhất.
| Các số | ƯCLN | BCNN | Ứng dụng điển hình |
|---|---|---|---|
| 12, 18, 24 | 6 | 72 | Rút gọn phân số 12/18 thành 2/3; tìm mẫu số chung |
| 4, 6 | 2 | 12 | Tìm thời điểm hai chu kỳ lặp dài 4 và 6 trùng nhau lần tới |
| 7, 13 | 1 (nguyên tố cùng nhau) | 91 | Hai số không có thừa số chung ngoài 1 thì BCNN bằng tích của chúng |
- Khi hai số không có thừa số chung nào ngoài 1, chúng được gọi là nguyên tố cùng nhau; ƯCLN của chúng bằng 1 và BCNN bằng tích của hai số.
- ƯCLN dùng để rút gọn phân số về dạng tối giản bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho ƯCLN của chúng. BCNN dùng để tìm mẫu số chung nhỏ nhất khi cộng hoặc trừ các phân số khác mẫu.
- Công cụ này coi mọi số nhập vào là số nguyên dương; đầu vào là số thập phân hoặc số âm sẽ được chuyển thành giá trị tuyệt đối và làm tròn về số nguyên trước khi tính.
ƯCLN và BCNN là gì?
Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của một tập số nguyên là số nguyên lớn nhất chia hết từng số đó mà không để lại dư. Ví dụ, ƯCLN của 12, 18 và 24 là 6, vì 6 chia hết cả ba số (12÷6=2, 18÷6=3, 24÷6=4) và không có số nào lớn hơn làm được điều đó. Trong tiếng Anh, ƯCLN còn được gọi là greatest common divisor (GCD).
Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của một tập số nguyên là số nguyên dương nhỏ nhất mà mỗi số trong tập đều chia hết. BCNN của 12, 18 và 24 là 72, vì 72 là số nhỏ nhất là bội của cả ba số (72÷12=6, 72÷18=4, 72÷24=3).
ƯCLN và BCNN thường được dùng cùng nhau: ƯCLN giúp rút gọn phân số về dạng tối giản và tìm các nhóm bằng nhau lớn nhất có thể chia được từ những số lượng khác nhau, còn BCNN giúp tìm mẫu số chung khi cộng hoặc so sánh phân số và xác định thời điểm hai sự kiện lặp lại (chẳng hạn hai chu kỳ có độ dài khác nhau) sẽ trùng nhau lần tới.
Cách dùng máy tính ƯCLN và BCNN này
- Nhập hai hay nhiều số nguyên dương, phân tách bằng ; (ví dụ 12; 18; 24).
- Công cụ tìm ƯCLN bằng thuật toán Euclid, áp dụng lần lượt theo từng cặp cho toàn bộ các số bạn đã nhập.
- BCNN được tính từ ƯCLN theo đẳng thức BCNN(a, b) = (a × b) ÷ ƯCLN(a, b), mở rộng theo từng cặp cho cả danh sách.
- Đọc ƯCLN, BCNN và — khi ƯCLN từ 2 trở lên — dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của nó.
Thuật toán Euclid và quan hệ giữa ƯCLN và BCNN
ƯCLN được tính bằng thuật toán Euclid, một trong những thuật toán lâu đời nhất của toán học (mô tả trong bộ Cơ sở của Euclid, Quyển VII, khoảng năm 300 trước Công nguyên). Thuật toán liên tục thay số lớn hơn trong hai số bằng phần dư của phép chia số lớn cho số nhỏ, cho tới khi phần dư bằng 0 — giá trị khác 0 cuối cùng chính là ƯCLN. Ví dụ minh họa: ƯCLN(12, 18): 18 = 1×12 + 6, rồi 12 = 2×6 + 0, nên ƯCLN(12, 18) = 6. Tiếp theo ƯCLN(6, 24): 24 = 4×6 + 0, nên ƯCLN(6, 24) = 6, cho ƯCLN(12, 18, 24) = 6.
Với nhiều hơn hai số, ƯCLN được tìm bằng cách áp dụng lặp lại thuật toán cho hai số: ƯCLN(a, b, c) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).
BCNN của hai số liên hệ trực tiếp với ƯCLN của chúng qua đẳng thức BCNN(a, b) = (a × b) ÷ ƯCLN(a, b) — điều này đúng vì tích của hai số luôn bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng. Ví dụ minh họa: BCNN(12, 18) = (12 × 18) ÷ ƯCLN(12, 18) = 216 ÷ 6 = 36. Mở rộng cho số thứ ba: BCNN(36, 24) = (36 × 24) ÷ ƯCLN(36, 24) = 864 ÷ 12 = 72, cho BCNN(12, 18, 24) = 72.
Những lỗi thường gặp
- Nhầm lẫn ƯCLN với BCNN — ƯCLN luôn nhỏ hơn hoặc bằng số nhỏ nhất được nhập, còn BCNN luôn lớn hơn hoặc bằng số lớn nhất được nhập.
- Cho rằng BCNN(a, b) = a × b trong mọi trường hợp — lối tắt này chỉ đúng khi a và b nguyên tố cùng nhau (ƯCLN = 1); nếu không thì BCNN(a, b) = (a × b) ÷ ƯCLN(a, b).
- Cố tìm ƯCLN hoặc BCNN khi chỉ có một số — cả hai khái niệm đều đòi hỏi so sánh ít nhất hai số, vì 'ƯCLN' và 'BCNN' của một số với chính nó hiển nhiên chỉ là chính số đó.
- Quên rằng ƯCLN và BCNN được định nghĩa cho số nguyên dương, không phải cho phân số hay số thập phân — đầu vào không nguyên phải được diễn giải hoặc chuyển đổi trước khi áp dụng các công thức này.
Câu hỏi thường gặp
Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các số như thế nào?
Cách hiệu quả nhất là thuật toán Euclid: liên tục thay số lớn hơn bằng phần dư của phép chia nó cho số nhỏ hơn, cho tới khi phần dư bằng 0 — phần dư khác 0 cuối cùng chính là ƯCLN. Với 12 và 18: 18 mod 12 = 6, rồi 12 mod 6 = 0, nên ƯCLN(12, 18) = 6.
Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số như thế nào?
Trước hết tìm ƯCLN, rồi áp dụng BCNN(a, b) = (a × b) ÷ ƯCLN(a, b). Với 12 và 18: ƯCLN = 6, nên BCNN = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36. Với nhiều hơn hai số, áp dụng công thức theo từng cặp, kết hợp BCNN đang có với mỗi số mới.
Quan hệ giữa ƯCLN và BCNN là gì?
Với hai số nguyên dương a và b bất kỳ, tích của ƯCLN và BCNN của chúng luôn bằng tích của chính hai số đó: ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) = a × b. Chính đẳng thức này cho phép tính nhanh BCNN ngay khi đã biết ƯCLN, mà không cần liệt kê các bội số.
Hai số nguyên tố cùng nhau nghĩa là gì?
Hai số là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung dương duy nhất của chúng là 1 — tức ƯCLN của chúng bằng 1. Bản thân các số nguyên tố cùng nhau không nhất thiết phải là số nguyên tố; ví dụ, 8 và 9 nguyên tố cùng nhau (ƯCLN = 1) dù không số nào là số nguyên tố. Khi hai số nguyên tố cùng nhau, BCNN của chúng bằng tích của chúng.
ƯCLN được dùng để rút gọn phân số như thế nào?
Chia cả tử số và mẫu số của phân số cho ƯCLN của chúng để đưa về dạng tối giản. Với 12/18, ƯCLN của 12 và 18 là 6, nên 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3, và phân số này không rút gọn thêm được nữa vì ƯCLN(2, 3) = 1.
Tài liệu tham khảo
- Euclid. Elements, Book VII, Propositions 1–2 (the Euclidean algorithm), c. 300 BCE. Translated edition: Heath TL. Euclid's Elements. Dover, 1956.
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (GCD, LCM and the Euclidean algorithm.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §27.1 Number Theory: Multiplicative Number Theory. dlmf.nist.gov.