Hiểu về căn số và tính chia hết cho 9
Căn số của một số cho biết phần dư của nó khi chia cho 9, điều này mang lại một cách kiểm tra nhẩm nhanh tính chia hết cho 3 và cho 9.
| Căn số | Quan hệ với tính chia hết |
|---|---|
| 9 | Số đó chia hết đúng cho 9 (và do đó cũng chia hết cho 3) |
| 3 hoặc 6 | Số đó chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 |
| 1, 2, 4, 5, 7 hoặc 8 | Số đó không chia hết cho 3 |
| 0 | Chỉ riêng số 0 mới có căn số bằng 0 |
- Công thức căn số và cách dùng nó như một phép kiểm tra số học 'loại bỏ số chín' có trước máy tính hiện đại và trong lịch sử đã được các kế toán viên cùng học sinh dùng để bắt lỗi chép sai và lỗi cộng bằng tay.
- Không nên nhầm căn số với tổng chữ số: tổng chữ số của 9.875 là 29 (một lượt cộng duy nhất), trong khi căn số là 2 (chữ số duy nhất đã rút gọn hoàn toàn sau khi cộng lặp).
- Máy tính này coi dữ liệu nhập là một số nguyên không âm; các chữ số của một số thập phân hay số âm cần được diễn giải lại trước khi áp dụng định nghĩa này.
Căn số là gì?
Căn số của một số nguyên được tìm bằng cách cộng tất cả các chữ số của nó lại với nhau, rồi nếu kết quả có nhiều hơn một chữ số thì lại cộng các chữ số đó với nhau — lặp lại quá trình này cho đến khi chỉ còn một chữ số duy nhất (từ 0 đến 9). Ví dụ, căn số của 9.875 được tìm bằng cách trước hết cộng 9+8+7+5=29, rồi cộng 2+9=11, rồi cộng 1+1=2, cho ra căn số cuối cùng là 2.
Kỹ thuật cộng lặp chữ số này đôi khi được gọi là 'loại bỏ số chín', một phương pháp trong lịch sử được dùng để kiểm tra nhanh các phép tính bằng tay: bởi vì căn số của một số tương đương về mặt toán học với số đó theo modulo 9 (dùng 9 thay cho 0), nên nếu hai số được cộng, trừ hay nhân với nhau tạo ra kết quả có căn số không khớp với phép tính căn số dự kiến, thì đã có sai sót ở đâu đó trong quá trình tính toán.
Căn số có các ứng dụng trong giải trí và giảng dạy — chúng xuất hiện trong thần số học (dù những cách dùng như vậy không mang ý nghĩa toán học nào ngoài bản thân phép tính), trong các phép kiểm tra chia hết đơn giản (một số chia hết cho 9 đúng khi căn số của nó bằng 9), và như một cách nhập môn dễ tiếp cận vào số học modulo và lý thuyết số cho học sinh.
Cách dùng máy tính căn số này
- Nhập một số nguyên không âm.
- Máy tính cộng tất cả các chữ số của nó để có tổng chữ số ban đầu.
- Nếu tổng đó có nhiều hơn một chữ số, máy tính lặp lại quá trình cộng chữ số, theo dõi từng bước trung gian.
- Đọc căn số một chữ số cuối cùng, cùng với toàn bộ chuỗi các bước rút gọn và tổng chữ số ban đầu trước khi rút gọn lặp.
Công thức căn số và mối liên hệ với mod 9
Phương pháp trực tiếp cộng lặp các chữ số: với n = 9.875, trước hết cộng các chữ số 9+8+7+5 = 29; vì 29 có nhiều hơn một chữ số nên cộng tiếp 2+9 = 11; vì 11 vẫn có nhiều hơn một chữ số nên cộng thêm một lần nữa 1+1 = 2. Căn số là 2, đạt được sau ba bước rút gọn: 9875 → 29 → 11 → 2.
Cũng có một công thức tắt trực tiếp, không lặp, dựa trên số học modulo: căn số của n (với n > 0) bằng 1 + ((n − 1) mod 9). Ví dụ minh họa: với n = 9.875, (9875 − 1) mod 9 = 9874 mod 9 = 1 (vì 9874 = 1097×9 + 1), nên căn số là 1 + 1 = 2 — khớp chính xác với kết quả từng bước. Công thức này đúng vì việc cộng các chữ số của một số không làm thay đổi phần dư của nó theo modulo 9 (do 10 ≡ 1 mod 9, nên mọi lũy thừa của 10 cũng ≡ 1 mod 9).
Như một trường hợp đặc biệt, căn số của 0 được định nghĩa là 0, và căn số của bất kỳ bội số dương nào của 9 chính là 9 (không phải 0), bởi vì phép dịch '+1' trong công thức ánh xạ phần dư 0 thành căn số 9 thay vì 0.
Những sai lầm thường gặp
- Dừng lại sau chỉ một vòng cộng chữ số — căn số đòi hỏi lặp lại quá trình cho đến khi còn một chữ số duy nhất, chứ không chỉ tính tổng chữ số đầu tiên.
- Nhầm lẫn 'tổng chữ số' (một lượt) với 'căn số' (cộng lặp xuống còn một chữ số) — hai đại lượng này có liên quan nhưng khác biệt, và chỉ căn số mới chắc chắn là một chữ số duy nhất.
- Trông đợi căn số bằng 0 đối với các bội số của 9 — căn số của bất kỳ bội số dương nào của 9 (như 18, 27, 81) là 9, không phải 0; chỉ riêng số 0 mới có căn số bằng 0.
- Áp dụng kỹ thuật này cho số âm hoặc số thập phân mà không chuyển đổi trước — định nghĩa căn số cổ điển chỉ áp dụng cho các số nguyên không âm.
Câu hỏi thường gặp
Làm thế nào để tìm căn số của một số?
Cộng tất cả các chữ số của số đó, và nếu kết quả có nhiều hơn một chữ số thì cộng tiếp các chữ số của nó — lặp lại cho đến khi chỉ còn một chữ số duy nhất. Với 9.875: 9+8+7+5=29, rồi 2+9=11, rồi 1+1=2. Căn số của 9.875 là 2.
Công thức tắt cho căn số là gì?
Với mọi số nguyên dương n, căn số bằng 1 + ((n − 1) mod 9), tránh được việc phải cộng lặp. Với n = 9.875: (9875 − 1) mod 9 = 9874 mod 9 = 1, nên căn số là 1 + 1 = 2, khớp với phương pháp từng bước.
Vì sao căn số lại liên quan đến mod 9?
Bởi vì 10 để lại phần dư 1 khi chia cho 9 (10 = 1×9 + 1), nên mọi lũy thừa của 10 cũng để lại phần dư 1 theo mod 9. Vì bất kỳ số nguyên nào cũng có thể viết dưới dạng tổng của các chữ số nhân với lũy thừa của 10, nên việc cộng trực tiếp các chữ số (bỏ qua giá trị vị trí của chúng) vẫn giữ nguyên phần dư của số đó theo mod 9. Lặp lại quá trình cộng chữ số này sẽ hội tụ về đúng phần dư ấy, biểu diễn dưới dạng một chữ số duy nhất (dùng 9 thay cho 0).
Căn số kiểm tra phép tính như thế nào (loại bỏ số chín)?
Phép loại bỏ số chín kiểm tra một phép tính bằng cách so sánh các căn số: với phép cộng, căn số của tổng phải bằng căn số của tổng các căn số của những số hạng; với phép nhân, căn số của tích phải bằng căn số của tích các căn số của những thừa số. Nếu các căn số không khớp theo quy tắc này thì đã có sai sót số học ở đâu đó — tuy nhiên việc các căn số khớp nhau không bảo đảm đáp án hoàn toàn đúng, vì một số lỗi (như đảo vị trí chữ số) có thể không bị phát hiện.
Căn số của một bội số của 9 là bao nhiêu?
Căn số của bất kỳ bội số dương nào của 9 luôn luôn là chính số 9, không phải 0. Ví dụ, 18 → 1+8=9, 81 → 8+1=9, và 999 → 9+9+9=27 → 2+7=9. Đây là hệ quả trực tiếp của công thức tắt 1 + ((n−1) mod 9): khi n là bội số của 9 thì (n−1) mod 9 = 8, nên căn số là 1+8=9.
Tài liệu tham khảo
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (Congruences and casting out nines.)
- Ore O. Number Theory and Its History. McGraw-Hill, 1948 (Dover reprint, 1988). (Historical treatment of digit sums and divisibility checks.)
- Weisstein EW. 'Digital Root' and 'Casting Out Nines.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.