Таблица перевода единиц угла
Каждая единица как доля полного оборота, со значением в градусах и радианах.
| Единица | Градусы | Радианы | Доля оборота |
|---|---|---|---|
| 1 оборот | 360 | 6,2831853 | 1 |
| 1 градус | 1 | 0,017453293 | 1/360 |
| 1 град | 0,9 | 0,015707963 | 1/400 |
| 1 радиан | 57,295780 | 1 | 1/(2π) |
| 1 угловая минута | 0,016666667 | 0,00029088821 | 1/21 600 |
| 1 угловая секунда | 0,00027777778 | 0,0000048481368 | 1/1 296 000 |
| 1 миллирадиан | 0,057295780 | 0,001 | 1/(2000π) |
- Все коэффициенты этой таблицы точны по определению. Показанные десятичные значения округлены, но лежащие в их основе соотношения — 360 градусов, 400 град и 2π радиан на оборот — не несут никакой погрешности измерения.
- Применяемый здесь миллирадиан — это истинный угловой миллирадиан, 1/1000 радиана. В ряде стрелковых дисциплин используют слегка другую тысячную: тысячная НАТО делит оборот на 6 400 частей, а не на 6 283,19, поэтому перед переводом проверьте, какую из них имеет в виду прицел или сетка.
- Тригонометрические функции в электронных таблицах и языках программирования почти всегда ожидают радианы. Передать им градусы — одна из самых частых причин тихо неверной геометрии.
Какие единицы угла используются чаще всего
Угол измеряет поворот, и каждая единица — доля полного оборота. Градус делит оборот на 360 частей: это соглашение унаследовано от вавилонской астрономии и держится потому, что 360 нацело делится на очень многие числа. Радиан делит его на 2π частей и служит единицей СИ: один радиан — угол, опирающийся на дугу длиной в радиус.
Радиан выбран не произвольно. Математический анализ его предполагает: производная sin x равна cos x лишь тогда, когда x задан в радианах, и то же верно для формул длины дуги и площади сектора. Поэтому угол, введённый в градусах, нужно перевести, прежде чем применять любую из них.
Град, он же гон, делит оборот на 400 частей, так что прямой угол равен ровно 100 гон. Его применяют в геодезии, особенно в континентальной Европе. Угловые минуты и секунды делят градус на 60 и 3 600 для астрономии и навигации, а миллирадиан используют в оптике и баллистике, где один миллирадиан на километре опирается примерно на метр.
Как пользоваться конвертером углов
- Введите угол, который нужно перевести. Отрицательные значения допустимы: пеленг или поворот можно отсчитывать в любую сторону.
- Выберите его единицу: градусы, радианы, грады, обороты, угловые минуты, угловые секунды или миллирадианы.
- Прочитайте эквивалент сразу во всех остальных единицах.
- Для всего, что идёт в тригонометрическую формулу, производную или расчёт длины дуги, берите радианы.
Коэффициенты, на которых построен конвертер углов
Значение переводится в радианы, а оттуда — в каждую целевую единицу. Поскольку полный оборот равен одновременно 2π радианам, 360 градусам, 400 градам и 1 обороту, все коэффициенты выводятся из этих тождеств точно.
Пример: 45° в радианах — это 45 × π/180 = π/4 = 0,78539816 рад. В градах: 45 × 400/360 = ровно 50 гон. В оборотах: 45/360 = ровно 0,125. В угловых секундах: 45 × 3 600 = ровно 162 000.
Частые ошибки
- Передавать градусы тригонометрической функции, ожидающей радианы. Если 30 прочитано как радианы, sin(30) равен −0,988, а не искомым 0,5.
- Путать угловой миллирадиан (1/1000 рад, 6 283,19 на оборот) с тысячной НАТО (6 400 на оборот). Они различаются примерно на 1,9%.
- Читать угловые минуты как минуты времени. Угловая минута — это 1/60 градуса; знаки ′ и ″ означают здесь угол, а не длительность.
- Считать, что прямой угол равен 90 в любой единице. Он равен 90°, но 100 гон, π/2 рад и 0,25 оборота.
Часто задаваемые вопросы
Сколько градусов в 1 радиане?
57,295780 градуса, то есть 180/π. Соотношение следует из того, что полный оборот — это одновременно 360 градусов и 2π радиан, поэтому один радиан равен 360/(2π) = 180/π градуса. Обратный перевод: 1° = π/180 ≈ 0,017453293 рад.
Почему математики пользуются радианами, а не градусами?
Потому что анализ работает чисто только в радианах. Производная sin x равна cos x, а приближение для малых углов sin x ≈ x выполняется лишь при x в радианах. Длина дуги (rθ) и площадь сектора (½r²θ) тоже это предполагают. В градусах каждое из этих выражений обзаводится множителем π/180.
Для чего применяют град?
Прежде всего в геодезии в континентальной Европе. Деление оборота на 400 частей делает прямой угол равным ровно 100 гон, так что квадранты и уклоны попадают на круглые числа — это удобно при снятии отсчёта с теодолита. Его называют также гоном или новым градусом.
Сколько угловых секунд в градусе?
3 600. Градус делится на 60 угловых минут, а каждая угловая минута — ещё на 60 угловых секунд, что даёт 3 600 угловых секунд на градус и 1 296 000 на полный оборот. Астрономы пользуются этими долями, потому что положения небесных тел требуют гораздо более тонкого разрешения, чем даёт градус.
Что такое миллирадиан на практике?
Тысячная доля радиана, которая на километре опирается почти ровно на метр — именно это свойство делает его удобным в оптике и дальнометрии. Стоит помнить, что в некоторых стрелковых дисциплинах тысячную определяют как 1/6400 оборота, что отличается примерно на 1,9%.
Источники
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019 — the radian as the coherent SI unit of plane angle, and the degree, minute and second accepted for use with the SI.
- NIST Special Publication 811 (Thompson & Taylor). Guide for the Use of the International System of Units (SI), 2008 — plane-angle conversion factors.