Coordenadas no círculo unitário: (cos theta, sin theta)
O círculo unitário é um círculo com raio exatamente 1, centrado na origem (0,0) de um plano cartesiano. Para qualquer ângulo theta, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, traçar uma linha da origem nesse ângulo e encontrar onde ela cruza o círculo dá um ponto cuja coordenada x é igual a cos(theta) e cuja coordenada y é igual a sin(theta) -- diretamente, sem escala necessária, porque o raio do círculo é 1.
Essa é a definição geométrica por trás de toda identidade trigonométrica: cosseno é, por definição, a coordenada x no círculo unitário para um dado ângulo, e seno é a coordenada y. A tangente segue diretamente como a razão entre os dois: tan(theta) = sin(theta) / cos(theta), que geometricamente representa a inclinação da linha da origem até esse ponto no círculo.
Sinais por quadrante: onde seno e cosseno são positivos ou negativos
O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes pelos eixos x e y, e como seno e cosseno são apenas as coordenadas y e x de um ponto no círculo unitário, seus sinais em cada quadrante decorrem diretamente do sinal das coordenadas nesse quadrante.
Esse padrão às vezes é lembrado com o mnemônico em inglês "All Students Take Calculus" (todos os estudantes fazem cálculo), referindo-se a quais funções são positivas em cada quadrante ao avançar no sentido anti-horário a partir do quadrante I: as três funções são positivas no quadrante I, apenas o Seno é positivo no quadrante II, apenas a Tangente é positiva no quadrante III, e apenas o Cosseno é positivo no quadrante IV.
| Quadrante | Faixa de ângulo | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | positivo | positivo | positivo |
| II | 90°-180° | positivo | negativo | negativo |
| III | 180°-270° | negativo | negativo | positivo |
| IV | 270°-360° | negativo | positivo | negativo |
Ângulos de referência: encontrando valores exatos fora do quadrante I
Um ângulo de referência é o ângulo agudo, sempre entre 0 e 90 graus, formado entre o lado terminal de um ângulo e o ponto mais próximo no eixo x. Ângulos de referência permitem encontrar o seno, cosseno ou tangente exatos de qualquer ângulo relacionando-o a um dos cinco ângulos padrão do quadrante I, e depois aplicando o sinal correto para o quadrante em que o ângulo original realmente se encontra.
Por exemplo, um ângulo de 150 graus está no quadrante II, e seu ângulo de referência é 180 - 150 = 30 graus. Como o seno é positivo no quadrante II, sin(150 graus) é igual a mais sin(30 graus) = 0,5. O cosseno é negativo no quadrante II, então cos(150 graus) é igual a menos cos(30 graus), aproximadamente -0,8660. O ângulo de referência fornece a magnitude; o quadrante fornece o sinal.
A tabela padrão de 0/30/45/60/90 graus
Cinco ângulos -- 0, 30, 45, 60 e 90 graus, todos dentro do quadrante I -- têm valores de seno e cosseno expressáveis como números exatos em vez de decimais longos, e formam a base para encontrar valores trigonométricos exatos em qualquer outro ângulo padrão por meio de ângulos de referência. A tabela abaixo lista tanto a forma exata quanto a aproximação decimal de cada um.
Observe a simetria: os valores de seno de 0 a 90 graus (0, 1/2, raiz(2)/2, raiz(3)/2, 1) são exatamente os valores de cosseno em ordem inversa, consequência direta de seno e cosseno serem funções complementares -- sin(theta) = cos(90 graus - theta) para qualquer ângulo theta.
| Ângulo | sin theta (exato) | sin theta (decimal) | cos theta (exato) | cos theta (decimal) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0,5 | raiz(3)/2 | 0,8660 |
| 45° | raiz(2)/2 | 0,7071 | raiz(2)/2 | 0,7071 |
| 60° | raiz(3)/2 | 0,8660 | 1/2 | 0,5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
Ângulos coterminais e indo além de uma volta
Ângulos maiores que 360 graus, ou ângulos negativos, ainda correspondem a um ponto específico no círculo unitário -- eles simplesmente dão uma ou mais voltas extras ao redor do círculo. Um ângulo coterminal é o ângulo equivalente dentro de uma única volta de 0 a 360 graus, encontrado somando ou subtraindo múltiplos de 360 graus até o resultado cair nessa faixa.
Por exemplo, um ângulo de 405 graus tem um ângulo coterminal de 405 - 360 = 45 graus, o que significa que ambos os ângulos apontam para exatamente o mesmo local no círculo unitário e, portanto, compartilham valores idênticos de seno, cosseno e tangente. Da mesma forma, um ângulo de -30 graus tem um ângulo coterminal de -30 + 360 = 330 graus, que está no quadrante IV.
Perguntas frequentes
Quais são as coordenadas de um ponto no círculo unitário em um dado ângulo?
Para qualquer ângulo theta medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, o ponto correspondente no círculo unitário tem coordenadas (cos theta, sin theta) exatamente -- a coordenada x é sempre o cosseno do ângulo, e a coordenada y é sempre o seno do ângulo, sem escala adicional necessária, já que o raio do círculo é 1.
Qual é o valor exato de sin(60 graus)?
sin(60 graus) é igual à raiz quadrada de 3 dividida por 2, um valor exato de aproximadamente 0,8660. Sua cofunção complementar, cos(60 graus), é igual a exatamente 1/2 = 0,5, consistente com sin(60 graus) = cos(90 graus - 60 graus) = cos(30 graus).
Como encontrar um ângulo de referência?
Um ângulo de referência é o ângulo agudo entre o lado terminal de um ângulo e o eixo x mais próximo. No quadrante II, subtraia o ângulo de 180 graus; no quadrante III, subtraia 180 graus do ângulo; no quadrante IV, subtraia o ângulo de 360 graus. Para 150 graus (quadrante II), o ângulo de referência é 180 - 150 = 30 graus.
Por que o cosseno é negativo no quadrante II?
Porque o cosseno é igual à coordenada x de um ponto no círculo unitário, e todo ponto no quadrante II (ângulos entre 90 e 180 graus) tem coordenada x negativa, situando-se à esquerda do eixo y. O seno permanece positivo ali, já que os pontos do quadrante II ainda têm coordenada y positiva.
O que é um ângulo coterminal?
Um ângulo coterminal é um ângulo que cai exatamente no mesmo ponto do círculo unitário após ser reduzido (ou estendido) por um número inteiro de voltas completas de 360 graus. Um ângulo de 405 graus tem um ângulo coterminal de 405 - 360 = 45 graus, já que ambos descrevem a mesma posição no círculo e, portanto, compartilham valores idênticos de seno, cosseno e tangente.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).