La convergenza verso la sezione aurea
Il rapporto fra numeri di Fibonacci consecutivi si avvicina rapidamente alla sezione aurea, come mostra la tabella dei primi termini.
| n | Fₙ | Fₙ ÷ Fₙ₋₁ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | — (nessun termine precedente) |
| 2 | 1 | 1,000000 |
| 5 | 5 | 1,666667 |
| 10 | 55 | 1,617647 |
| 15 | 610 | 1,618037 |
| 20 | 6.765 | 1,618034 |
- Al crescere di n il rapporto Fₙ ÷ Fₙ₋₁ oscilla sopra e sotto φ, avvicinandosi a ogni nuovo termine, anziché tendervi da un'unica direzione.
- Il calcolatore accetta n fino a 78, poiché F₇₉ supererebbe l'intervallo degli interi sicuri di JavaScript (2⁵³ − 1) e oltre quel punto i risultati perderebbero la precisione intera esatta.
- La successione qui usata parte da F₁ = 1 e F₂ = 1, che è la convenzione di indicizzazione più diffusa. Alcuni testi partono invece da F₀ = 0 e F₁ = 1, il che sposta ogni indice di una posizione: prima di confrontare i numeri d'ordine, controlla dunque sempre quale convenzione adotti la fonte.
Che cos'è la successione di Fibonacci?
La successione di Fibonacci è definita dalla relazione di ricorrenza Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, con valori iniziali F₁ = 1 e F₂ = 1; alcune fonti antepongono anche F₀ = 0. Ogni termine dopo i primi due si genera sommando i due immediatamente precedenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 e così via. La successione prende il nome dal matematico pisano Leonardo Fibonacci, che la introdusse nella matematica occidentale nel Liber Abaci del 1202, benché fosse già stata descritta nella matematica indiana a proposito della metrica sanscrita.
Al crescere di n, il rapporto fra numeri di Fibonacci consecutivi Fₙ ÷ Fₙ₋₁ converge verso la sezione aurea, φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887. Si tratta di un risultato matematico consolidato e non di una proprietà mistica: la sezione aurea è infatti la radice positiva dell'equazione x² = x + 1, e compare come rapporto limite anche in molte altre successioni ricorrenti lineari del secondo ordine di struttura analoga.
La successione di Fibonacci attraversa matematica e informatica: è l'esempio classico nello studio degli algoritmi ricorsivi e della programmazione dinamica, sta alla base della ricerca di Fibonacci e degli heap di Fibonacci, mentre schemi a spirale e ramificazioni di tipo fibonacciano sono documentati dalla ricerca botanica in alcune strutture vegetali, ossia nella fillotassi, come la disposizione delle squame delle pigne e dei semi del girasole.
Come usare questo calcolatore di Fibonacci
- Inserisci n, cioè la posizione nella successione che vuoi conoscere: n = 1 corrisponde al primo termine.
- Il calcolatore genera la successione da F₁ = 1 e F₂ = 1 fino al termine n-esimo, applicando la ricorrenza Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂.
- Leggi il numero di Fibonacci n-esimo, la somma di tutti i termini da F₁ a Fₙ e il rapporto fra il termine n-esimo e quello di posizione (n−1).
- Confronta il rapporto con la sezione aurea (φ ≈ 1,618034) per osservare quanto rapidamente la successione converga: già intorno al quindicesimo termine il rapporto è esatto fino alla terza cifra decimale.
La ricorrenza di Fibonacci e la sezione aurea
La ricorrenza che definisce la successione è Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ per n ≥ 3, con F₁ = 1 e F₂ = 1. Esempio svolto: F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2; F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3; F₅ = F₄ + F₃ = 3 + 2 = 5; proseguendo con lo stesso schema si arriva a F₁₀ = 55.
La somma dei primi n numeri di Fibonacci ammette un'identità in forma chiusa: F₁ + F₂ + ... + Fₙ = Fₙ₊₂ − 1. Esempio svolto per n = 10: la somma 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 dà 143 e, in effetti, F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143, il che conferma l'identità.
Il rapporto fra termini consecutivi Fₙ ÷ Fₙ₋₁ converge alla sezione aurea φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Esempio svolto: F₁₀ ÷ F₉ = 55 ÷ 34 ≈ 1,617647, valore che dista da φ meno di 0,0004. La convergenza discende dalla formula di Binet, espressione in forma chiusa del numero di Fibonacci n-esimo in funzione di φ e del suo coniugato.
Errori comuni
- Dare per scontato che la successione inizi con F₁ = 0: questo calcolatore adotta la convenzione F₁ = 1, F₂ = 1, mentre le fonti che partono da F₀ = 0, F₁ = 1 mostrano la stessa sequenza numerica traslata di una posizione.
- Confondere la successione di Fibonacci con la sezione aurea: quest'ultima è il valore limite verso cui tende il rapporto fra termini consecutivi, non un termine della successione.
- Aspettarsi che per n piccoli il rapporto fra termini consecutivi coincida esattamente con φ: la convergenza avviene solo al crescere di n e per valori bassi, come F₂/F₁ = 1, lo scarto da 1,618034 è ben visibile.
- Attribuire ai numeri di Fibonacci un significato mistico o universale nell'arte, nell'architettura o nel corpo umano: se da un lato la ricerca documenta schemi fibonacciani in alcune strutture di crescita vegetale, molte affermazioni divulgative sulla presenza della sezione aurea nell'anatomia o nei capolavori storici non reggono a misurazioni rigorose e vanno prese con scetticismo.
Domande frequenti
Come si trova il numero di Fibonacci n-esimo?
Si parte da F₁ = 1 e F₂ = 1 e si applica ripetutamente Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ fino al termine desiderato. Per esempio, per trovare F₁₀: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 — il decimo termine è dunque 55.
Che rapporto c'è fra i numeri di Fibonacci e la sezione aurea?
Al crescere della posizione n, il rapporto fra numeri di Fibonacci consecutivi Fₙ ÷ Fₙ₋₁ converge alla sezione aurea, φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Per esempio F₁₀ ÷ F₉ = 55 ÷ 34 ≈ 1,617647, già vicino a φ, e l'approssimazione migliora ulteriormente per n più grandi.
Quanto vale la somma dei primi n numeri di Fibonacci?
La somma dei primi n numeri di Fibonacci è pari a Fₙ₊₂ − 1. Per n = 10 la somma 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 dà 143, valore che coincide con F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143.
Chi ha scoperto la successione di Fibonacci?
La successione prende il nome da Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, che la introdusse nella matematica dell'Europa occidentale nel Liber Abaci del 1202, all'interno di un problema sulla crescita di una popolazione di conigli. La stessa successione era però già stata descritta in precedenza nella matematica indiana, in relazione al conteggio degli schemi ritmici della poesia sanscrita.
La successione di Fibonacci inizia da 0 o da 1?
Si usano entrambe le convenzioni. Molti testi matematici indicizzano la successione partendo da F₀ = 0, F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 2, mentre altri, fra cui questo calcolatore, partono da F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 2. La sequenza di valori resta identica in ogni caso e cambia soltanto l'etichetta dell'indice, spostata di una posizione: per questo conviene sempre verificare quale convenzione adotti la fonte consultata.
Che cos'è la formula di Binet?
La formula di Binet è un'espressione in forma chiusa che calcola direttamente il numero di Fibonacci n-esimo senza dover ricavare tutti i termini precedenti: Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, dove φ = (1+√5)/2 è la sezione aurea e ψ = (1−√5)/2 il suo coniugato. Poiché |ψ| < 1, il termine ψⁿ tende a zero al crescere di n: è questa la ragione di fondo per cui il rapporto fra termini consecutivi converge a φ.
Fonti
- Sigler LE (translator). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer, 2002.
- Koshy T. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. 2nd ed. Wiley, 2018.
- OEIS Foundation. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A000045 (Fibonacci numbers). oeis.org/A000045.