Come leggere insieme MCD e mcm
MCD e mcm stanno ai due estremi di una coppia di domande collegate: il MCD cerca il più grande fattore condiviso, il mcm il più piccolo multiplo comune.
| Numeri | MCD | mcm | Uso tipico |
|---|---|---|---|
| 12, 18, 24 | 6 | 72 | Ridurre la frazione 12/18 a 2/3; trovare un denominatore comune |
| 4, 6 | 2 | 12 | Capire quando due cicli ricorrenti di durata 4 e 6 torneranno ad allinearsi |
| 7, 13 | 1 (coprimi) | 91 | I numeri senza fattori comuni oltre a 1 hanno mcm pari al loro prodotto |
- Quando due numeri non hanno fattori comuni oltre a 1 si dicono coprimi, o primi fra loro: il loro MCD vale 1 e il loro mcm coincide con il prodotto dei due numeri.
- Il MCD serve a ridurre una frazione ai minimi termini, dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore. Il mcm serve invece a individuare il minimo denominatore comune quando si sommano o si sottraggono frazioni con denominatori diversi.
- Il calcolatore tratta tutti i valori inseriti come numeri interi positivi: eventuali dati decimali o negativi vengono ricondotti al corrispondente intero assoluto arrotondato prima del calcolo.
Che cosa sono MCD e mcm?
Il massimo comun divisore (MCD) di un insieme di numeri interi è il più grande intero che li divide tutti senza lasciare resto. Per esempio, il MCD di 12, 18 e 24 è 6, poiché 6 divide esattamente tutti e tre i numeri (12÷6=2, 18÷6=3, 24÷6=4) e nessun numero più grande fa altrettanto. In molti testi il MCD viene indicato anche come massimo comune divisore o, all'inglese, GCD.
Il minimo comune multiplo (mcm) di un insieme di numeri interi è il più piccolo intero positivo che ciascuno di essi divide esattamente. Il mcm di 12, 18 e 24 è 72, poiché 72 è il numero più piccolo a essere multiplo di tutti e tre (72÷12=6, 72÷18=4, 72÷24=3).
MCD e mcm si usano spesso insieme: il MCD riduce le frazioni ai minimi termini e individua i gruppi uguali più grandi che si possono formare da quantità diverse, mentre il mcm fornisce un denominatore comune per sommare o confrontare frazioni e stabilisce quando due eventi ricorrenti, per esempio due cicli di durata diversa, torneranno a coincidere.
Come usare questo calcolatore di MCD e mcm
- Inserisci due o più numeri interi positivi, separati da ; (per esempio 12; 18; 24).
- Il calcolatore ricava il MCD con l'algoritmo di Euclide, applicato a coppie su tutti i numeri inseriti.
- Il mcm si ottiene dal MCD tramite l'identità mcm(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b), estesa a coppie sull'intero elenco.
- Leggi il MCD, il mcm e, quando il MCD è pari o superiore a 2, anche la sua scomposizione in fattori primi.
L'algoritmo di Euclide e la relazione fra MCD e mcm
Il MCD si calcola con l'algoritmo di Euclide, uno dei più antichi della matematica, descritto negli Elementi di Euclide, libro VII, attorno al 300 a.C. Il procedimento sostituisce ripetutamente il maggiore di due numeri con il resto della divisione del maggiore per il minore, finché il resto non diventa 0: l'ultimo valore non nullo è il MCD. Esempio svolto per MCD(12, 18): 18 = 1×12 + 6, poi 12 = 2×6 + 0, dunque MCD(12, 18) = 6. Proseguendo con MCD(6, 24): 24 = 4×6 + 0, quindi MCD(6, 24) = 6, da cui MCD(12, 18, 24) = 6.
Con più di due numeri il MCD si trova applicando ripetutamente l'algoritmo per due numeri: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).
Il mcm di due numeri è legato direttamente al loro MCD dall'identità mcm(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b), che vale perché il prodotto di due numeri coincide sempre con il prodotto del loro MCD per il loro mcm. Esempio svolto: mcm(12, 18) = (12 × 18) ÷ MCD(12, 18) = 216 ÷ 6 = 36. Estendendo al terzo numero: mcm(36, 24) = (36 × 24) ÷ MCD(36, 24) = 864 ÷ 12 = 72, dunque mcm(12, 18, 24) = 72.
Errori comuni
- Confondere il MCD con il mcm: il MCD è sempre minore o uguale al più piccolo numero inserito, mentre il mcm è sempre maggiore o uguale al più grande.
- Dare per scontato che mcm(a, b) = a × b: questa scorciatoia vale soltanto se a e b sono coprimi, cioè con MCD = 1; altrimenti mcm(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b).
- Cercare MCD o mcm con un solo numero: entrambi i concetti richiedono il confronto fra almeno due valori, poiché MCD e mcm di un numero con sé stesso coincidono banalmente con quel numero.
- Dimenticare che MCD e mcm sono definiti per gli interi positivi e non per frazioni o decimali: i valori non interi vanno interpretati o convertiti prima di applicare queste formule.
Domande frequenti
Come si trova il massimo comun divisore (MCD) di più numeri?
Il metodo più efficiente è l'algoritmo di Euclide: si sostituisce ripetutamente il numero maggiore con il resto della sua divisione per il minore, finché il resto non raggiunge 0; l'ultimo resto non nullo è il MCD. Per 12 e 18: 18 mod 12 = 6, poi 12 mod 6 = 0, dunque MCD(12, 18) = 6.
Come si trova il minimo comune multiplo (mcm) di più numeri?
Si calcola prima il MCD, poi si applica mcm(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b). Per 12 e 18: il MCD è 6, quindi il mcm vale (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36. Con più di due numeri si applica la formula a coppie, combinando il mcm via via ottenuto con ciascun nuovo valore.
Che relazione c'è fra MCD e mcm?
Per due qualsiasi interi positivi a e b, il prodotto del loro MCD per il loro mcm coincide sempre con il prodotto dei numeri stessi: MCD(a, b) × mcm(a, b) = a × b. È proprio questa identità a permettere di ricavare rapidamente il mcm una volta noto il MCD, senza dover elencare i multipli.
Che cosa significa che due numeri sono coprimi?
Due numeri sono coprimi, o primi fra loro, quando il loro unico fattore comune positivo è 1, cioè quando il loro MCD vale 1. Non serve che siano primi in sé: per esempio 8 e 9 sono coprimi (MCD = 1) pur non essendo numeri primi. Quando due numeri sono coprimi, il loro mcm coincide con il loro prodotto.
Come si usa il MCD per semplificare le frazioni?
Si dividono numeratore e denominatore della frazione per il loro MCD, riducendola così ai minimi termini. Per 12/18 il MCD di 12 e 18 è 6, dunque 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3, frazione che non si può semplificare oltre poiché MCD(2, 3) = 1.
Fonti
- Euclid. Elements, Book VII, Propositions 1–2 (the Euclidean algorithm), c. 300 BCE. Translated edition: Heath TL. Euclid's Elements. Dover, 1956.
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (GCD, LCM and the Euclidean algorithm.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §27.1 Number Theory: Multiplicative Number Theory. dlmf.nist.gov.