❗ Calcolatore di Fattoriale

Quanto velocemente cresce un fattoriale

La crescita fattoriale supera rapidamente quella esponenziale, come mostra la tabella di valori esatti e approssimati qui sotto.

• 18! (≈ 6,40 × 10¹⁵) è il fattoriale più grande che resta sotto il limite degli interi sicuri, poiché il valore Number.MAX_SAFE_INTEGER di JavaScript è 2⁵³ − 1 ≈ 9,007 × 10¹⁵; il calcolatore mostra pertanto il valore esatto solo fino a n = 18. Oltre quel limite i fattoriali restano rappresentabili esattamente in doppia precisione fino a 22!, perché ciascuno contiene molti fattori due, e 23! è il primo che viene arrotondato.
• Da n = 19 a n = 170 compaiono soltanto l'approssimazione in notazione scientifica e ln(n!), poiché l'intero esatto richiederebbe una precisione superiore a quella dell'aritmetica in virgola mobile standard, ottenibile solo con una libreria per interi arbitrari.
• Oltre n = 170 il valore di n! supera il massimo rappresentabile dai numeri in virgola mobile a doppia precisione, circa 1,8 × 10³⁰⁸, e trabocca a infinito: per questo il calcolatore limita n a 170.

Che cos'è un fattoriale?

Il fattoriale di un intero non negativo n, indicato con n!, è definito come il prodotto di tutti gli interi positivi da 1 a n: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1. Per esempio, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per definizione 0! = 1, in quanto prodotto vuoto e dunque pari all'elemento neutro della moltiplicazione: è una convenzione adottata universalmente in calcolo combinatorio.

I fattoriali crescono con enorme rapidità, molto più in fretta di qualunque funzione esponenziale di n. 10! vale 3.628.800, mentre 20! supera già i 2,4 trilioni (2,43 × 10¹⁸), un numero più grande dei secondi trascorsi dal Big Bang. È questa crescita esplosiva a rendere necessaria la notazione scientifica per n grandi e a rendere impraticabile, oltre una certa soglia, la visualizzazione del valore intero esatto.

I fattoriali sono il fondamento del calcolo combinatorio: contano in quanti modi si possono ordinare n oggetti distinti, cioè le permutazioni, e compaiono a denominatore nella formula del coefficiente binomiale, usata per contare le selezioni non ordinate, ossia le combinazioni. Ricorrono inoltre nella teoria della probabilità, nell'analisi matematica come coefficienti delle serie di Taylor e in numerose identità combinatorie in forma chiusa.

Come usare questo calcolatore di fattoriale

1. Inserisci un numero intero n compreso fra 0 e 170: 170! è vicino al fattoriale più grande che i numeri in virgola mobile a doppia precisione riescono a rappresentare prima di traboccare a infinito.
2. Leggi il risultato in notazione scientifica, sempre mostrato qualunque sia la dimensione di n.
3. Per n ≤ 18 compare anche il valore intero esatto di n!, poiché i fattoriali più grandi eccedono l'intervallo degli interi rappresentabili esattamente in doppia precisione (2⁵³ ≈ 9,007 × 10¹⁵).
4. Consulta infine il logaritmo naturale di n!, utile per lavorare con fattoriali enormi senza incorrere in overflow, e il numero di zeri finali nella rappresentazione decimale esatta di n!.

Come si calcolano fattoriale, zeri finali e ln(n!)

La relazione ricorsiva che definisce il fattoriale è n! = n × (n − 1)!, con caso base 0! = 1. Esempio svolto: 5! = 5 × 4! = 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 0! = 120 × 1 = 120.

Per n grandi il logaritmo naturale ln(n!) si calcola come somma Σ ln(k) per k da 2 a n, evitando così l'overflow che deriverebbe dal moltiplicare direttamente il fattoriale. La notazione scientifica si ricava poi da questa somma tramite il logaritmo in base 10: log₁₀(n!) = ln(n!) ÷ ln(10), dove la parte intera fornisce l'esponente e la parte frazionaria, riconvertita con 10^x, fornisce la mantissa.

Il numero di zeri finali di n! è pari al numero di volte in cui 10 divide esattamente n!. Poiché 10 = 2 × 5 e in un fattoriale i fattori 2 sono sempre più numerosi dei fattori 5, il conteggio si riduce a contare i fattori 5 con la formula di Legendre: zeri finali = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... Esempio svolto per 10!: ⌊10/5⌋ = 2 e ⌊10/25⌋ = 0, dunque 10! ha 2 zeri finali, come conferma il valore 10! = 3.628.800.

Errori comuni

• Dimenticare che 0! = 1 e non 0: si tratta di una convenzione matematica consolidata, quella del prodotto vuoto pari a 1, indispensabile perché le formule combinatorie funzionino correttamente nei casi limite.
• Ritenere che il fattoriale si possa calcolare esattamente per n arbitrariamente grandi con l'aritmetica standard: oltre n = 22 i valori interi esatti eccedono quanto i numeri in doppia precisione possono rappresentare senza arrotondare.
• Confondere n! con nⁿ: il fattoriale moltiplica una sequenza decrescente di interi fino a 1, mentre l'elevamento a potenza moltiplica n per sé stesso n volte; i due crescono a ritmi diversi e divergono in fretta (5! = 120 contro 5⁵ = 3.125).
• Inserire un numero negativo o non intero: in questa accezione elementare il fattoriale è definito soltanto per gli interi non negativi, mentre la funzione Gamma ne estende il concetto ai non interi con una formula distinta e ben più avanzata.

Domande frequenti

Fonti

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §5.1 Gamma Function: Factorial Function. dlmf.nist.gov.
2. Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Factorials and combinatorics.)
3. Graham RL, Knuth DE, Patashnik O. Concrete Mathematics. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994. (Legendre's formula for factors in n!.)