Interpretare il risultato del limite
La tabella seguente riassume come le stime numeriche sinistra e destra determinino se il limite bilatero venga dichiarato esistente.
| Stime sinistra e destra | Risultato riportato |
|---|---|
| Coincidono entro la tolleranza numerica | Il limite bilatero esiste: il valore riportato è la loro media |
| Divergono, oppure un lato non è definito | In questo punto il limite bilatero non esiste |
- Si tratta di una stima numerica basata sulla valutazione della funzione molto vicino a c da entrambi i lati: non viene eseguita alcuna semplificazione algebrica, perciò forme indeterminate classiche come 0/0 si risolvono osservando l'andamento numerico anziché scomponendo algebricamente o applicando la regola di De l'Hôpital.
- Non occorre che la funzione sia definita esattamente in x = c perché il limite esista: sin(x)/x non è definita in x = 0, eppure il suo limite in quel punto vale 1.
- Funzioni con discontinuità eliminabili, discontinuità a salto o asintoti verticali in c mostrano di norma stime numeriche discordanti fra i due lati, il che segnala correttamente l'inesistenza del limite bilatero.
- Funzioni che oscillano molto rapidamente vicino a c (come sin(1/x) quando x tende a 0) possono dare stime numeriche fuorvianti, poiché la valutazione su un insieme finito di punti vicini può non cogliere l'oscillazione.
- Il limite è segnalato come inesistente anche quando entrambi i lati divergono all'infinito, pur concordando tra loro: f(x) = 1/x² in c = 0 è il caso tipico. Lì le stime sono un artefatto del passo di calcolo (dimezzandolo quadruplicano), quindi non esiste alcun limite bilaterale finito.
Che cos'è un limite numerico?
Un limite descrive il valore a cui una funzione si avvicina quando il suo argomento si accosta arbitrariamente a un punto c, indipendentemente dal fatto che la funzione sia definita proprio in c. Questo calcolatore stima quel valore per via numerica: valuta la funzione in una successione di punti che si stringono verso c da sinistra e da destra e osserva a quale valore tenda ciascuna successione. Non semplifica l'espressione in modo algebrico né applica tecniche simboliche come la regola di De l'Hôpital.
Il limite bilatero viene dichiarato esistente soltanto quando le stime numeriche da sinistra e da destra coincidono entro una piccola tolleranza numerica. Quando divergono — per esempio in corrispondenza di una discontinuità a salto o di un asintoto verticale — il calcolatore segnala che il limite bilatero non esiste, pur mostrando comunque i due valori laterali separati.
Non occorre che una funzione sia definita in x = c perché il limite in quel punto esista. L'esempio classico, sin(x)/x, non è definito in x = 0 (0/0), eppure il suo limite per x che tende a 0 vale esattamente 1, poiché il valore della funzione si avvicina arbitrariamente a 1 da entrambi i lati.
Come usare questo calcolatore di limiti
- Inserisci una funzione di x, per esempio sin(x)/x, 1/x oppure (x^2-1)/(x-1). La moltiplicazione va scritta esplicitamente con * e le potenze usano ^.
- Inserisci il valore di avvicinamento c, ossia il punto a cui x tende, che non deve necessariamente essere un punto in cui la funzione è definita.
- Leggi il limite sinistro (il valore raggiunto avvicinandosi da sotto c) e il limite destro (il valore raggiunto avvicinandosi da sopra c).
- Verifica se il limite bilatero esista: viene riportato quando le stime da sinistra e da destra coincidono, altrimenti il calcolatore segnala che il limite bilatero non esiste.
Come viene stimato il limite numerico
Il limite sinistro si stima valutando f(c − h) per una successione di passi positivi h sempre più piccoli e osservando l'andamento mentre h si riduce verso 0. Il limite destro si stima allo stesso modo usando f(c + h).
Il limite bilatero è dichiarato esistente soltanto quando le stime da sinistra e da destra coincidono entro una piccola tolleranza numerica; in tal caso il valore riportato è la loro media. Se divergono, oppure se uno dei due lati non è definito, il limite bilatero viene segnalato come inesistente, anche quando uno o entrambi i limiti laterali restano visualizzabili.
Esempio svolto: f(x) = sin(x)/x, con c = 0. Benché sin(0)/0 non sia definito (0/0), valutando la funzione in punti molto vicini a 0 su entrambi i lati si vede il valore convergere a 1 da tutte e due le direzioni, dunque lim(x→0) sin(x)/x = 1.
Esempio di contrasto: f(x) = 1/x, con c = 0. Valutando da sinistra i valori tendono a meno infinito, mentre valutando da destra tendono a più infinito: i due lati divergono, perciò in x = 0 il limite bilatero non esiste.
Errori comuni
- Attendersi una derivazione simbolica del limite, per esempio tramite la regola di De l'Hôpital o la scomposizione algebrica: questo calcolatore stima il limite per via numerica valutando la funzione in punti molto vicini a c, non manipolando algebricamente l'espressione.
- Presumere che una funzione debba essere definita in x = c perché il limite esista: il limite descrive il valore a cui la funzione si avvicina e può esistere anche quando f(c) non è definita, come per sin(x)/x in x = 0.
- Trascurare il fatto che un limite laterale può esistere anche quando quello bilatero non esiste: controlla sempre i risultati separati da sinistra e da destra quando il bilatero viene segnalato come inesistente.
- Inserire una funzione che oscilla rapidamente vicino a c, come sin(1/x) quando x tende a 0, caso in cui la valutazione numerica su un insieme finito di punti può ingannare sul reale comportamento matematico.
- Leggere «non esiste» come un errore di calcolo: è un risultato matematico valido e corretto ogni volta che il comportamento da sinistra e da destra diverge davvero in quel punto.
Domande frequenti
Questo calcolatore risolve i limiti in modo simbolico, per esempio con la regola di De l'Hôpital?
No. Stima i limiti per via numerica, valutando la funzione in una successione di punti molto vicini al valore di avvicinamento c da entrambi i lati e osservandone l'andamento. Non esegue semplificazioni algebriche né tecniche simboliche come la regola di De l'Hôpital.
Un limite può esistere anche se la funzione non è definita in quel punto?
Sì. Un limite descrive il valore a cui una funzione si avvicina, non quello che assume effettivamente in quel punto. L'esempio classico è sin(x)/x, che in x = 0 non è definita (0/0) ma ha limite esattamente uguale a 1 per x che tende a 0.
Che cosa significa «il limite non esiste (bilatero)»?
Significa che le stime numeriche provenienti da sinistra e da destra non coincidono con sufficiente approssimazione: è un segnale tipico di una discontinuità a salto, di un asintoto verticale o di oscillazioni vicino a quel punto. I valori dei due limiti laterali vengono comunque riportati, così da mostrarti il comportamento della funzione in ciascuna direzione.
Perché il limite sinistro e quello destro possono divergere?
Accade tipicamente in una discontinuità a salto (il valore della funzione compie uno scatto improvviso), presso un asintoto verticale (la funzione cresce illimitatamente, spesso verso infiniti opposti dai due lati, come 1/x in x = 0) oppure in presenza di oscillazioni rapide vicino al punto di avvicinamento.
Quanto è accurato un limite stimato numericamente?
Per funzioni regolari dotate di un limite effettivo nel punto di avvicinamento la stima numerica è molto accurata. L'accuratezza può peggiorare con funzioni che oscillano rapidamente vicino a quel punto o che risultano numericamente instabili da valutare molto vicino a c.
Quali funzioni e operatori sono supportati nell'espressione?
sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln (logaritmo naturale), log (logaritmo in base 10), log2 (logaritmo in base 2), exp, floor, ceil, round, min, max; le costanti pi, e e tau; gli operatori + − * / % ^; e la variabile x, con le funzioni trigonometriche valutate in radianti.
Fonti
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the formal and informal definitions of a limit, one-sided limits).
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (numerical approximation methods).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods. dlmf.nist.gov.
- Spivak M. Calculus (4th ed). Publish or Perish, 2008 (rigorous treatment of limits and continuity).