Avvicinarsi a un valore non è come raggiungerlo
Un limite chiede a quale valore una funzione si avvicina sempre di più quando il suo argomento si avvicina sempre di più a un certo punto c, senza richiedere che la funzione sia effettivamente definita in c, né che vi assuma quel valore limite anche se lo è. Questa distinzione — avvicinarsi rispetto a raggiungere — è l'idea centrale che separa i limiti dalla semplice sostituzione: la sostituzione chiede «quanto vale f(c)?»; un limite chiede «a cosa si avvicina f(x) quando x si avvicina arbitrariamente a c?», e le due domande possono avere risposte diverse, oppure una può avere una risposta quando l'altra non ce l'ha.
Per una funzione ben comportata (continua), avvicinarsi e raggiungere danno la stessa risposta, motivo per cui la semplice sostituzione funziona per la maggior parte delle funzioni incontrate nell'algebra di base. I limiti diventano davvero necessari esattamente nei punti in cui una funzione non è ben comportata — non definita, discontinua, o costruita da un rapporto che produce una forma indeterminata come 0/0 in quel punto specifico — che è precisamente dove la sostituzione fallisce ma il limite può ancora esistere.
Limiti unilaterali e bilaterali
Un limite unilaterale esamina il comportamento della funzione da una sola direzione: il limite sinistro, scritto lim(x→c⁻) f(x), osserva i valori di f quando x si avvicina a c da sotto (attraverso valori minori di c); il limite destro, scritto lim(x→c⁺) f(x), osserva i valori di f quando x si avvicina a c da sopra (attraverso valori maggiori di c). Un limite bilaterale, scritto lim(x→c) f(x) senza apice, esiste solo quando il limite sinistro e quello destro esistono entrambi e sono uguali tra loro.
La funzione f(x) = |x| / x illustra un caso in cui i limiti unilaterali non concordano in c = 0: per ogni x negativo, |x| / x = −1, quindi il limite sinistro è −1; per ogni x positivo, |x| / x = 1, quindi il limite destro è 1. Poiché −1 ≠ 1, il limite bilaterale in x = 0 non esiste, anche se entrambi i limiti unilaterali esistono singolarmente e sono perfettamente ben definiti.
| Direzione di avvicinamento | Comportamento di f(x) = |x| / x | Limite |
|---|---|---|
| Sinistro (x → 0⁻) | f(x) = −1 per ogni x < 0 | lim = −1 |
| Destro (x → 0⁺) | f(x) = 1 per ogni x > 0 | lim = 1 |
| Bilaterale (x → 0) | Il limite sinistro e quello destro non concordano (−1 ≠ 1) | Non esiste |
Il caso classico: perché sin(x)/x richiede un limite, non la sostituzione
Sostituendo direttamente x = 0 in sin(x)/x si ottiene sin(0)/0 = 0/0, una forma indeterminata che non ha di per sé alcun valore numerico definito — 0/0 non è automaticamente 0, né 1, né «per sempre indefinito»; significa semplicemente che la sostituzione diretta non può rispondere alla domanda e che occorre calcolare un limite. Valutando sin(x)/x per una successione di valori di x che si riducono verso 0 da entrambi i lati si osserva che il valore della funzione tende costantemente verso 1, non verso 0 o qualsiasi altro numero.
Numericamente: per x = 0,1, sin(x)/x ≈ 0,998334; per x = 0,01, sin(x)/x ≈ 0,999983; per x = 0,001, sin(x)/x ≈ 0,9999998; per x = 0,0001, sin(x)/x ≈ 0,99999998. Sia la tendenza da sinistra sia quella da destra convergono verso 1, quindi lim(x→0) sin(x)/x = 1, anche se la funzione sin(x)/x stessa non è definita esattamente in x = 0. Questo risultato è un classico dell'analisi matematica ed è tipicamente dimostrato in modo rigoroso usando un argomento geometrico del confronto (o «dei due carabinieri») piuttosto che la sola valutazione numerica.
Quando i limiti non esistono: 1/x in x = 0
Non tutti i limiti esistono. La funzione f(x) = 1/x, avvicinandosi a c = 0, illustra un limite che non esiste a causa di una crescita illimitata piuttosto che di un semplice disaccordo: quando x si avvicina a 0 da destra (piccoli valori positivi), 1/x cresce senza limite verso l'infinito positivo; quando x si avvicina a 0 da sinistra (piccoli valori negativi), 1/x cresce senza limite verso l'infinito negativo. Poiché i due comportamenti unilaterali divergono verso infiniti opposti anziché stabilizzarsi su un unico numero finito condiviso, il limite bilaterale in x = 0 non esiste.
I limiti possono non esistere anche a causa di un'oscillazione anziché di una divergenza all'infinito — per esempio, sin(1/x) quando x si avvicina a 0 oscilla tra −1 e 1 infinite volte per quanto x si avvicini a 0, senza mai stabilizzarsi verso un unico valore da nessuno dei due lati. Sia la crescita illimitata sia l'oscillazione persistente sono ragioni standard e ben documentate per cui un limite non esiste, distinte dal caso di disaccordo tra i limiti unilaterali mostrato sopra con |x|/x.
Perché i limiti sono il fondamento su cui si costruiscono sia le derivate sia gli integrali
La definizione formale di derivata è essa stessa un limite — il limite della pendenza di una retta secante quando i due punti che la definiscono si avvicinano fino a diventare uno solo — e anche la definizione formale di integrale definito è un limite, il limite di una somma di Riemann quando il numero di rettangoli cresce senza limite. Capire che cos'è un limite e quando esiste o non esiste non è quindi un argomento secondario nell'analisi matematica; è il meccanismo alla base di entrambe le due operazioni centrali della materia.
Questo è anche il motivo per cui un calcolatore di limiti numerico, come quello di questo sito, è costruito concettualmente allo stesso modo in cui è stato valutato sopra sin(x)/x: stima il comportamento da sinistra e da destra valutando la funzione in punti progressivamente più vicini al valore di avvicinamento da ciascun lato, quindi verifica se queste due tendenze concordano abbastanza da poter riportare un limite bilaterale.
Domande frequenti
Cosa significa che un limite non esiste?
Significa che il comportamento della funzione quando x si avvicina a un punto specifico non si stabilizza su un unico valore ben definito — comunemente perché l'approccio da sinistra e quello da destra non concordano (come con |x|/x in x = 0), perché la funzione cresce senza limite in direzioni opposte da ciascun lato (come con 1/x in x = 0), oppure perché la funzione oscilla persistentemente vicino a quel punto senza stabilizzarsi.
Qual è la differenza tra un limite unilaterale e uno bilaterale?
Un limite unilaterale esamina il comportamento di una funzione avvicinandosi a un punto da una sola direzione — il limite sinistro dai valori inferiori, il limite destro dai valori superiori. Un limite bilaterale esiste solo quando entrambi i limiti unilaterali esistono e sono uguali tra loro; se non concordano, il limite bilaterale non esiste anche se ciascun limite unilaterale può comunque essere perfettamente ben definito di per sé.
Perché lim(x→0) sin(x)/x = 1 anche se sin(0)/0 non è definito?
Perché un limite chiede a quale valore si avvicina una funzione, non quale valore essa assume nel punto stesso. La sostituzione diretta dà la forma indeterminata 0/0, che non ha alcun valore definito di per sé, ma valutando sin(x)/x in punti progressivamente più vicini a 0 da entrambi i lati si osserva che il valore converge costantemente verso 1, che è il valore del limite anche se la funzione stessa non è definita esattamente in x = 0.
Quando un limite non esiste?
Un limite non esiste quando l'approccio da sinistra e quello da destra non concordano (come con |x|/x in x = 0), quando la funzione cresce senza limite verso infiniti opposti da ciascun lato (come con 1/x in x = 0), oppure quando la funzione oscilla persistentemente vicino al punto senza stabilizzarsi verso un unico valore (come con sin(1/x) vicino a x = 0).
Una funzione può avere un limite in un punto in cui non è definita?
Sì. Un limite descrive il valore a cui una funzione si avvicina quando il suo argomento si avvicina a un punto, non il valore che la funzione assume lì, quindi le due domande possono avere risposte diverse. La funzione sin(x)/x non è definita in x = 0, eppure il suo limite quando x si avvicina a 0 è esattamente 1, perché i valori della funzione convergono a 1 da entrambe le direzioni anche se x = 0 stesso è escluso dal suo dominio.
Fonti
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the formal definition of a limit, one-sided limits, and the squeeze theorem).
- Spivak M. Calculus (4th ed). Publish or Perish, 2008 (rigorous treatment of limits and continuity).
- Thomas GB, Weir MD, Hass J. Thomas' Calculus. Pearson (limits, one-sided limits, and indeterminate forms).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods. dlmf.nist.gov.