Interpretare il risultato della derivata
Il segno della derivata seconda, quando disponibile, indica la concavità locale della funzione in x0: è un risultato classico dell'analisi matematica.
| f″(x₀) | Concavità in x₀ |
|---|---|
| Positiva | Concavità verso l'alto: vicino a x₀ la funzione si curva come una valle |
| Negativa | Concavità verso il basso: vicino a x₀ la funzione si curva come una collina |
| Nulla o quasi | Possibile punto di flesso: la concavità potrebbe cambiare vicino a x₀ e occorre una verifica ulteriore |
- Si tratta di una stima numerica e non di una derivata simbolica: il calcolatore non produce mai una formula generale f'(x), ma restituisce soltanto il valore della derivata nel singolo punto x0 inserito.
- Sintassi supportata per le espressioni: le funzioni sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln (logaritmo naturale), log (logaritmo in base 10), log2 (logaritmo in base 2), exp, floor, ceil, round, min, max; le costanti pi, e, tau; gli operatori + − * / % ^; e la variabile x. Le funzioni trigonometriche lavorano in radianti.
- Funzioni con discontinuità, punti angolosi o valori non definiti vicino a x0 (per esempio in prossimità di un asintoto verticale) possono rendere imprecisa la stima alle differenze finite o non produrre alcun risultato.
- Per funzioni regolari e ben condizionate la stima numerica presenta un errore di troncamento piccolo e in genere trascurabile alla precisione mostrata, ma tale errore può crescere con funzioni soggette a variazioni locali rapide.
Che cos'è una derivata numerica?
Una derivata misura il tasso di variazione istantaneo di una funzione in un punto: geometricamente, la pendenza della retta tangente al grafico in quel punto. La derivazione simbolica produce una formula generale, f'(x), valida per ogni x. Questo calcolatore ricava invece una derivata numerica: stima f'(x0), un unico numero, esattamente nel punto x0 che inserisci, senza mai produrre la formula generale f'(x).
Il metodo numerico impiegato è la differenza centrale a 5 punti: il calcolatore valuta f in diversi punti molto vicini a x0 su entrambi i lati e combina quei valori in una stima assai accurata della pendenza in x0, con un errore che si riduce proporzionalmente alla quarta potenza del passo. Si tratta di una tecnica standard e consolidata dell'analisi numerica, distinta dalla derivazione simbolica dei sistemi di algebra computazionale.
Poiché il risultato è numerico, valutare la derivata in un punto diverso richiede di rieseguire il calcolo con quel nuovo x0: non viene restituita alcuna espressione algebrica di f'(x) che si possa valutare direttamente altrove.
Come usare questo calcolatore di derivate
- Inserisci una funzione di x, per esempio x^3 - 2*x + 1, sin(x)/x oppure sqrt(x) + ln(x). La moltiplicazione va scritta esplicitamente con * e le potenze usano ^.
- Inserisci il punto x0 in cui valutare la derivata.
- Leggi f'(x0), la derivata numerica in quel punto, e f(x0), il valore assunto lì dalla funzione.
- Se la funzione è derivabile due volte in prossimità di x0, leggi anche f''(x0), la derivata seconda numerica, e l'equazione della retta tangente, che fornisce la migliore approssimazione lineare di f vicino a x0.
La formula alla base della derivata numerica
La stima con differenza centrale a 5 punti è f'(x0) ≈ [−f(x0+2h) + 8f(x0+h) − 8f(x0−h) + f(x0−2h)] / (12h), una formula alle differenze finite classica il cui errore è proporzionale a h⁴: dimezzare il passo h riduce dunque l'errore di circa un fattore 16.
La derivata seconda si stima con una differenza centrale più semplice: f''(x0) ≈ [f(x0+h) − 2f(x0) + f(x0−h)] / h². Il suo segno indica la concavità locale: positivo significa che la funzione volge la concavità verso l'alto vicino a x0, negativo che la volge verso il basso.
La retta tangente in x0, ossia la migliore approssimazione rettilinea di f in prossimità di quel punto, è y = f'(x0)(x − x0) + f(x0).
Esempio svolto: f(x) = x³ − 2x + 1 in x0 = 2. La derivata numerica è f'(2) = 10, in accordo con la derivata simbolica 3x² − 2 valutata in x = 2 (3×4 − 2 = 10). Il valore della funzione è f(2) = 8 − 4 + 1 = 5, dunque la retta tangente è y = 10(x − 2) + 5.
Errori comuni
- Attendersi una formula simbolica come «3x² − 2»: questo calcolatore restituisce soltanto il valore numerico della derivata nel singolo punto x0 inserito, usando un'approssimazione alle differenze finite e non la derivazione simbolica (algebrica).
- Scrivere moltiplicazioni implicite come 2x anziché 2*x, oppure usare ** al posto di ^ per le potenze: il parser richiede gli operatori espliciti dell'insieme supportato.
- Valutare in un punto in cui la funzione non è definita o è discontinua, come 1/x in x0 = 0, il che rende inaffidabile la stima alle differenze finite o non restituisce alcun risultato.
- Ritenere che il risultato numerico sia esatto con precisione arbitraria: il metodo delle differenze centrali comporta un errore di troncamento piccolo ma non nullo, di norma invisibile alle cifre decimali mostrate per funzioni regolari.
- Usare log intendendo il logaritmo naturale: nella sintassi di questo calcolatore ln è il logaritmo naturale (base e), log è in base 10 e log2 in base 2.
Domande frequenti
Questo calcolatore fornisce la formula della derivata, come f'(x) = 3x² − 2?
No. Restituisce soltanto il valore numerico della derivata nello specifico punto x0 inserito, calcolato con un metodo numerico alle differenze finite. Per conoscere il comportamento della derivata in un altro punto, inserisci quel punto come nuovo x0 e ripeti il calcolo.
Quale metodo numerico usa questo calcolatore di derivate?
Una differenza centrale a 5 punti: f'(x0) ≈ [−f(x0+2h) + 8f(x0+h) − 8f(x0−h) + f(x0−2h)] / (12h), formula standard dell'analisi numerica con errore proporzionale a h⁴.
Quali funzioni e operatori sono supportati nell'espressione?
sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, cbrt, abs, ln, log, log2, exp, floor, ceil, round, min, max; le costanti pi, e e tau; gli operatori + − * / % ^; e la variabile x. Le funzioni trigonometriche vengono valutate in radianti.
Quanto è accurata la derivata numerica?
Per funzioni regolari e ben condizionate il metodo delle differenze centrali a 5 punti è accurato ben oltre le cifre decimali mostrate. L'accuratezza peggiora in prossimità di discontinuità, punti angolosi o punti in cui la funzione non è definita vicino a x0.
Che cosa indica il risultato della retta tangente?
La retta tangente, y = f'(x0)(x − x0) + f(x0), è la migliore approssimazione rettilinea della funzione vicino a x0. Tocca la curva nel punto (x0, f(x0)) e possiede la stessa pendenza della funzione in quel punto esatto.
Perché a volte la derivata seconda non compare fra i risultati?
La derivata seconda ricorre a una propria formula alle differenze centrali e viene mostrata soltanto quando quel calcolo restituisce un valore finito: se la funzione risulta indefinita o discontinua nell'immediato intorno di x0, la stima della derivata seconda viene omessa.
Fonti
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (finite-difference approximations to derivatives).
- Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press (numerical differentiation).
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the derivative as instantaneous rate of change and slope of the tangent line).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — finite-difference formulas. dlmf.nist.gov.