Tableau de référence des changements de base
Le tableau présente les mêmes valeurs écrites dans les quatre bases. Observez qu'un chiffre hexadécimal correspond à quatre chiffres binaires et un chiffre octal à trois.
| Décimal | Binaire | Octal | Hexadécimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 100 | 1100100 | 144 | 64 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
- Ce calculateur traite les entiers positifs ou nuls jusqu'à la limite des entiers sûrs de l'arithmétique IEEE 754 en double précision (2⁵³ − 1 = 9 007 199 254 740 991) ; au-delà, la saisie est rejetée plutôt que silencieusement arrondie.
- Les valeurs fractionnaires et les nombres négatifs (représentation en complément à deux) sortent du cadre de ce convertisseur.
Qu'est-ce que le système binaire ?
Le binaire est un système de numération positionnel en base 2 : il écrit tout nombre à l'aide des seuls chiffres 0 et 1, chaque position représentant une puissance de deux. En lisant le nombre binaire 1010 depuis la droite, les chiffres valent 0×1 + 1×2 + 0×4 + 1×8 = 10 en décimal. L'électronique numérique stocke et traite l'information en binaire parce qu'un composant à deux états (allumé/éteint) correspond exactement à un chiffre binaire, ou bit.
L'hexadécimal (base 16) et l'octal (base 8) sont les compagnons compacts du binaire. Puisque 16 = 2⁴, un chiffre hexadécimal représente exactement quatre chiffres binaires, et puisque 8 = 2³, un chiffre octal en représente exactement trois. L'hexadécimal utilise les chiffres 0–9 et les lettres A–F pour les valeurs de dix à quinze ; le nombre décimal 255 s'écrit 11111111 en binaire, FF en hexadécimal et 377 en octal.
Tous les systèmes positionnels suivent la même règle : un nombre écrit dₙ…d₁d₀ en base b vaut la somme de chaque chiffre multiplié par b élevé à la puissance de sa position. Changer de base est donc une opération purement notationnelle : on évalue les chiffres dans la base d'origine pour obtenir la valeur, puis on divise successivement par la base visée pour l'écrire.
Comment utiliser ce calculateur binaire
- Saisissez le nombre à convertir (jusqu'à 64 chiffres ; les préfixes tels que 0b, 0x ou 0o sont acceptés et ignorés).
- Choisissez la base dans laquelle le nombre est écrit : binaire, décimal, hexadécimal ou octal.
- Lisez la valeur décimale ainsi que les représentations équivalentes en binaire, hexadécimal et octal.
- Seuls les chiffres valides dans la base choisie sont acceptés : le chiffre 8, par exemple, n'existe pas dans une saisie octale.
Les mathématiques du changement de base
Pour convertir vers le décimal, multipliez chaque chiffre par la base élevée à la puissance de sa position (en comptant à partir de 0 à droite), puis additionnez. Pour convertir depuis le décimal, divisez successivement par la base visée et lisez les restes dans l'ordre inverse.
Exemple chiffré : 1010 en binaire vaut 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 2 = 10 en décimal. Écriture de 10 dans les autres bases : 10 ÷ 16 = 0 reste 10 → A en hexadécimal ; 10 ÷ 8 = 1 reste 2 → 12 en octal.
Erreurs fréquentes
- Lire 10 dans une autre base comme « dix » : dans tout système positionnel, 10 désigne la base elle-même (10₂ = 2, 10₈ = 8, 10₁₆ = 16).
- Employer des chiffres qui n'existent pas dans la base choisie, comme 8 ou 9 en octal, ou des lettres au-delà de F en hexadécimal.
- Se tromper de taille de groupe : un chiffre hexadécimal vaut quatre bits et un chiffre octal trois bits, si bien qu'un regroupement erroné des chiffres binaires fausse la conversion.
- Oublier que les zéros de tête ne changent rien : 0010₂ et 10₂ valent tous deux 2 en décimal.
Questions fréquentes
Comment convertir du binaire en décimal à la main ?
Multipliez chaque chiffre binaire par la puissance de deux correspondant à sa position, en comptant à partir de 0 pour le chiffre le plus à droite, puis additionnez. Pour 1101 : 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13. De droite à gauche, les valeurs de position sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, et ainsi de suite.
Comment convertir du décimal en binaire ?
Divisez le nombre par 2 de façon répétée en notant chaque reste. Le résultat binaire est la suite des restes lue à l'envers. Pour 13 : 13÷2 = 6 reste 1, 6÷2 = 3 reste 0, 3÷2 = 1 reste 1, 1÷2 = 0 reste 1 — en remontant, on obtient 1101.
Pourquoi les ordinateurs utilisent-ils le binaire ?
Les circuits numériques distinguent deux états de tension de façon fiable, et chaque état correspond à un chiffre binaire (bit). Concevoir le matériel autour de deux états rend le stockage et la logique simples et tolérants au bruit : tous les processeurs et toutes les mémoires courants représentent donc les données en binaire au niveau physique, quelle que soit la notation utilisée ensuite par les programmeurs.
À quoi sert l'hexadécimal ?
L'hexadécimal est une façon compacte d'écrire du binaire : un chiffre hexadécimal encode exactement quatre bits, si bien qu'un octet s'écrit toujours avec deux chiffres hexadécimaux (00–FF). C'est la notation standard des adresses mémoire, des codes couleur (par exemple #FF6600), des adresses MAC et des vidages de données brutes, car elle est bien plus courte que le binaire tout en s'y convertissant chiffre par chiffre.
Quel est le plus grand nombre accepté par ce calculateur ?
Les saisies sont limitées à 64 chiffres et à des valeurs inférieures ou égales à 2⁵³ − 1 = 9 007 199 254 740 991, le plus grand entier représentable exactement en virgule flottante IEEE 754 double précision. Au-delà, les nombres JavaScript ordinaires perdent leur précision entière : le calculateur rejette donc la saisie au lieu de renvoyer un résultat arrondi.
Références
- Knuth DE. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edition, Addison-Wesley, 1997 — positional number systems and radix conversion.
- IEEE Std 754-2019. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic — double-precision format and exact-integer range.