Arco, cuerda y sector en ángulos habituales
La tabla ilustra cómo se comparan la longitud del arco y la de la cuerda en un círculo de radio 10 para varios ángulos centrales habituales.
| Ángulo central | Longitud del arco (r=10) | Longitud de la cuerda (r=10) |
|---|---|---|
| 30° | 5,2360 | 5,1764 |
| 60° | 10,4720 | 10,0000 |
| 90° | 15,7080 | 14,1421 |
| 180° | 31,4159 | 20,0000 |
| 360° | 62,8319 (circunferencia completa) | 0 (inicio = final) |
- Con 360°, la longitud del arco iguala a la circunferencia completa (2πr) y la cuerda vale cero, porque los puntos inicial y final coinciden.
- Para un mismo ángulo, la longitud del arco siempre es mayor o igual que la de la cuerda, dado que la recta es el camino más corto entre dos puntos y el arco se curva entre ellos.
- El área del segmento solo tiene sentido con ángulos estrictamente comprendidos entre 0° y 360°; con exactamente 0°, tanto el sector como el segmento tienen área nula.
¿Qué son la longitud de arco, la cuerda y el área del sector?
Un arco es una porción curva de la circunferencia, delimitada por dos radios y un ángulo central; su longitud es la distancia recorrida a lo largo de esa curva. Una cuerda es el segmento recto que une los dos extremos del arco y siempre resulta más corta que el propio arco, salvo cuando el ángulo tiende a cero.
Un sector es la región en forma de porción de tarta limitada por el arco y los dos radios; un segmento es la región menor que delimitan el arco y la cuerda, es decir, la porción de tarta sin el triángulo que forman los dos radios y la cuerda. Las cuatro magnitudes se calculan directamente a partir del radio y del ángulo central.
Cómo usar esta calculadora de longitud de arco
- Introduce el radio del círculo.
- Introduce el ángulo central en grados, entre 0° y 360°.
- Consulta la longitud del arco, la de la cuerda, el área del sector y la del segmento, que se actualizan al instante.
Las fórmulas del arco y del área del sector
Todas las fórmulas necesitan el ángulo central en radianes (θ = ángulo en grados × π / 180); la calculadora hace esa conversión automáticamente a partir del valor en grados.
Errores frecuentes
- Introducir el ángulo en radianes cuando la calculadora espera grados.
- Confundir la longitud del arco (una distancia curva) con la de la cuerda (una distancia recta): solo coinciden en el límite, cuando el ángulo tiende a cero.
- Confundir el área del sector (delimitada por los dos radios y el arco) con la del segmento (delimitada por la cuerda y el arco): el segmento siempre es menor.
- Usar un ángulo mayor de 360°, que no corresponde a un sector único y bien definido dentro de un mismo círculo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la longitud de un arco?
La longitud del arco es el radio por el ángulo central en radianes: s = rθ. Con un radio de 10 y un ángulo de 60° (θ = π/3 radianes), la longitud del arco es 10 × π/3 ≈ 10,4720 unidades.
¿Qué diferencia hay entre la longitud del arco y la de la cuerda?
La longitud del arco es la distancia a lo largo del borde curvo del círculo entre dos puntos; la de la cuerda es la distancia en línea recta entre esos mismos puntos. Con radio 10 y un ángulo de 60°, el arco mide unas 10,4720 unidades y la cuerda exactamente 10, ya que la cuerda vale 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0,5 = 10.
¿Cómo se halla el área de un sector?
El área del sector es la mitad del radio al cuadrado por el ángulo central en radianes: A = ½r²θ. Con un radio de 10 y un ángulo de 60°, el área del sector es ½ × 100 × (π/3) ≈ 52,3599 unidades cuadradas.
¿Qué es un segmento circular?
Es la región comprendida entre una cuerda y el arco que esta delimita, es decir, el área del sector menos la del triángulo que forman los dos radios y la cuerda. Con radio 10 y un ángulo de 60°, el área del segmento es ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9,0586 unidades cuadradas.
¿Cómo se convierten los grados a radianes en estas fórmulas?
Se multiplica el ángulo en grados por π/180. Por ejemplo, 60° × π/180 = π/3 radianes ≈ 1,0472 radianes.
¿Cuál es la longitud de arco de un círculo completo?
Con un ángulo central de 360° (2π radianes), la longitud del arco coincide con la circunferencia completa, 2πr. Para un radio de 10, eso da 2π × 10 ≈ 62,8319 unidades.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).