Ternas pitagóricas habituales
Una terna pitagórica es un conjunto de tres enteros positivos que cumplen exactamente a² + b² = c². La tabla recoge las más pequeñas y utilizadas.
| Cateto a | Cateto b | Hipotenusa c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
- Cualquier múltiplo entero de una terna pitagórica es también una terna válida: 6-8-10 y 9-12-15 son ambos múltiplos de 3-4-5.
- El teorema de Pitágoras solo se cumple de forma exacta en triángulos rectángulos sobre un plano euclídeo, no en triángulos trazados sobre una superficie curva como una esfera.
¿Qué es el teorema de Pitágoras?
El teorema de Pitágoras afirma que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) equivale a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos: a² + b² = c². Es una de las relaciones más utilizadas de la geometría, atribuida al matemático griego Pitágoras y demostrada de forma independiente en varias tradiciones matemáticas antiguas.
El teorema se aplica exclusivamente a los triángulos rectángulos, es decir, a los que contienen exactamente un ángulo de 90°. Sirve para hallar un lado desconocido cuando se conocen los otros dos, y sustenta la fórmula de la distancia, diversas identidades trigonométricas e innumerables problemas prácticos de medición en construcción, navegación e ingeniería.
Cómo usar esta calculadora del teorema de Pitágoras
- Elige qué quieres hallar: la hipotenusa (conociendo ambos catetos) o el cateto que falta (conociendo la hipotenusa y un cateto).
- En el modo de hipotenusa, introduce el cateto a y el cateto b.
- En el modo de cateto, introduce el cateto conocido (a) y la hipotenusa (c); esta última debe ser mayor que el cateto conocido.
- Consulta el lado que faltaba, además del área y el perímetro del triángulo, calculados con los tres lados.
La fórmula del teorema de Pitágoras
La misma ecuación de partida se reordena según cuál sea el lado desconocido.
Errores frecuentes
- Aplicar la fórmula a un triángulo que no es rectángulo: el teorema solo vale cuando uno de los ángulos mide exactamente 90°.
- Sumar la hipotenusa dentro de a² + b² = c² como si fuera un cateto, en vez de despejar c² − a² = b² para hallar el cateto que falta.
- Introducir en el modo de cateto un valor igual o mayor que la hipotenusa, algo geométricamente imposible en un triángulo rectángulo.
- Olvidar extraer la raíz cuadrada después de sumar (o restar) los cuadrados: el teorema devuelve primero el valor al cuadrado.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del teorema de Pitágoras?
a² + b² = c², donde a y b son los dos catetos de un triángulo rectángulo y c la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto.
¿Cómo se halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo?
Se extrae la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los dos catetos: c = √(a² + b²). Con catetos de 3 y 4, c = √(9 + 16) = √25 = 5.
¿Cómo se halla un cateto con el teorema de Pitágoras?
Se resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa y se extrae la raíz: b = √(c² − a²). Con una hipotenusa de 5 y un cateto conocido de 3, b = √(25 − 9) = √16 = 4.
¿Qué es una terna pitagórica?
Es un conjunto de tres números enteros positivos a, b y c que cumplen exactamente a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 u 8-15-17.
¿El teorema de Pitágoras vale para todos los triángulos?
No. Solo se aplica a los triángulos rectángulos, los que tienen exactamente un ángulo de 90°. En los triángulos sin ángulo recto se recurre al teorema del coseno, que generaliza el de Pitágoras.
¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5?
El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus dos catetos: A = ½ × a × b. Con catetos de 3 y 4, el área es ½ × 3 × 4 = 6 unidades cuadradas, y el perímetro 3 + 4 + 5 = 12 unidades.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).