Signos por cuadrante y ángulos estándar
El seno, el coseno y la tangente presentan un patrón de signos fijo en cada uno de los cuatro cuadrantes, y toman valores exactos en los ángulos de referencia estándar.
| Cuadrante | Intervalo de ángulos | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°–90° | positivo | positivo | positiva |
| II | 90°–180° | positivo | negativo | negativa |
| III | 180°–270° | negativo | negativo | positiva |
| IV | 270°–360° | negativo | positivo | negativa |
- El ángulo de referencia es siempre el ángulo agudo (de 0° a 90°) entre el lado terminal y el eje x; combinado con el patrón de signos del cuadrante, permite obtener los valores trigonométricos exactos de cualquier ángulo a partir de los estándar de 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.
- La tangente no está definida en 90° ni en 270° (ni en sus equivalentes coterminales), porque en esos ángulos el coseno vale cero.
- Los ángulos mayores de 360° y los negativos se reducen primero a un ángulo coterminal dentro de [0°, 360°) antes de determinar el cuadrante y el ángulo de referencia.
¿Qué es la circunferencia unitaria?
La circunferencia unitaria es la de radio 1 centrada en el origen del plano de coordenadas. Para cualquier ángulo θ medido en sentido antihorario desde el semieje x positivo, el punto en el que el lado terminal del ángulo corta a la circunferencia tiene coordenadas (cos θ, sin θ), lo que convierte a esta figura en el fundamento visual y computacional de todas las funciones trigonométricas.
Como el radio vale exactamente 1, los valores del seno y del coseno se leen directamente como coordenadas, sin necesidad de escalarlos. Esta calculadora informa además del ángulo coterminal (el equivalente entre 0° y 360°), del cuadrante en el que cae el lado terminal y del ángulo de referencia (el ángulo agudo hasta el eje x más próximo), datos que en conjunto explican el signo y la magnitud de los valores trigonométricos.
Cómo usar esta calculadora de la circunferencia unitaria
- Introduce el valor del ángulo.
- Elige la unidad angular: grados o radianes.
- Consulta el seno, el coseno y la tangente del ángulo, además de su cuadrante, su ángulo de referencia y su ángulo coterminal, es decir, el equivalente dentro de una sola vuelta de 0° a 360°.
Las fórmulas de la circunferencia unitaria
Dado que la circunferencia unitaria tiene radio 1, las coordenadas (x, y) de un punto coinciden con (cos θ, sin θ): no hace falta escalar por el radio, a diferencia de lo que ocurre en una circunferencia cualquiera.
Errores frecuentes
- Dejar la unidad en radianes al introducir un valor en grados, o al revés, lo que da un resultado incorrecto pese a su apariencia válida.
- Dar por hecho que el ángulo de referencia coincide con el ángulo introducido cuando este cae fuera del primer cuadrante: la referencia se mide siempre desde el eje x más próximo, no desde 0°.
- Esperar un valor numérico de la tangente en 90° o en 270°, donde no está definida porque el coseno vale cero.
- Olvidar que los ángulos negativos y los superiores a 360° equivalen a un ángulo coterminal dentro de una vuelta completa (de 0° a 360°).
Preguntas frecuentes
¿Cuánto valen el seno y el coseno de 225 grados?
En 225°, sin(225°) = cos(225°) = −0,707107, es decir, ambos valen −√2/2. Ocurre porque 225° cae en el tercer cuadrante, donde el ángulo de referencia es 45° (225° − 180°) y tanto el seno como el coseno son negativos.
¿En qué cuadrante están los 225 grados?
225° cae en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), donde el seno y el coseno son negativos y la tangente positiva. Su ángulo de referencia es 225° − 180° = 45°.
¿Qué es un ángulo de referencia?
Es el ángulo agudo, siempre entre 0° y 90°, que forman el lado terminal de un ángulo y el eje x. Para un ángulo de 225°, la referencia es 45°, ya que 225° se sitúa 45° más allá de la marca de 180°.
¿Qué es un ángulo coterminal?
Es el ángulo que comparte el mismo lado terminal una vez reducido al intervalo de 0° a 360°, es decir, a una vuelta completa. Un ángulo de 585° tiene un coterminal de 585° − 360° = 225°, porque ambos apuntan a la misma posición de la circunferencia.
¿Por qué tan(90°) no está definida en la circunferencia unitaria?
Porque la tangente es sin θ / cos θ y en 90° el punto de la circunferencia unitaria es (0, 1), de modo que cos(90°) = 0. Dividir entre cero no está definido, así que la tangente carece de valor en 90°, y también en 270°, donde el coseno vale igualmente cero.
¿Cuáles son los valores exactos del seno y del coseno en 30°, 45° y 60°?
sin(30°) = 0,5 y cos(30°) ≈ 0,866025; sin(45°) = cos(45°) ≈ 0,707107; sin(60°) ≈ 0,866025 y cos(60°) = 0,5. Son los valores de la circunferencia unitaria que más se memorizan, todos ellos del primer cuadrante.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).