Fórmulas de volumen y superficie por cuerpo
La tabla resume la fórmula de volumen y la de área de superficie que se emplea en cada cuerpo.
| Cuerpo | Fórmula del volumen | Fórmula del área de superficie |
|---|---|---|
| Esfera | V = (4/3)πr³ | SA = 4πr² |
| Cubo | V = s³ | SA = 6s² |
| Prisma rectangular | V = lwh | SA = 2(lw + lh + wh) |
| Cilindro | V = πr²h | SA = 2πr² + 2πrh |
| Cono | V = (1/3)πr²h | SA = πr² + πr·generatriz |
| Pirámide de base cuadrada | V = (1/3)l²h | SA = l² + 2l·apotema |
| Semiesfera | V = (2/3)πr³ | SA = 3πr² |
| Tronco de cono | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | SA = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·generatriz |
- En el cono, la pirámide y el tronco de cono, la fórmula del área usa la generatriz o apotema lateral, que se deduce internamente del radio o la arista y de la altura mediante el teorema de Pitágoras: no coincide con la altura vertical introducida.
- Por «área de superficie» se entiende aquí la superficie total, bases incluidas, y no la superficie lateral; para ese desglose, consulta la calculadora de área de superficie.
- Todas las fórmulas suponen cuerpos rectos y no oblicuos: el vértice o la cara superior se sitúa justo encima del centro de la base.
¿Qué es el volumen?
El volumen es la cantidad de espacio tridimensional que encierra un cuerpo, medida en unidades cúbicas (metros cúbicos o pies cúbicos, por ejemplo). Cada cuerpo regular dispone de una fórmula cerrada que relaciona su volumen con las dimensiones que lo definen, como el radio de una esfera o la longitud, la anchura y la altura de un prisma.
El área de superficie, que aquí se muestra junto al volumen para todos los cuerpos, es la superficie total de las caras exteriores o curvas. Se expresa en unidades cuadradas y se calcula con una fórmula distinta de la del volumen: ambas magnitudes describen propiedades físicas diferentes y no son intercambiables.
Cómo usar esta calculadora de volumen
- Selecciona en el desplegable el cuerpo que quieres medir.
- Introduce las dimensiones que se piden: el radio de una esfera, o la longitud, la anchura y la altura de un prisma, por ejemplo.
- En un tronco de cono, introduce el radio inferior, el radio superior (radius2) y la altura perpendicular entre ambas caras circulares.
- En una pirámide de base cuadrada, introduce la arista de la base como «longitud» y la altura perpendicular desde la base hasta el vértice.
- Consulta el volumen y el área de superficie, que se actualizan al instante conforme cambias las dimensiones.
La fórmula del volumen de cada cuerpo
La fórmula del volumen de cada cuerpo procede del cálculo integral (integrando el área de las secciones transversales a lo largo de la altura o del radio), pero en estas figuras estándar se reduce a una expresión cerrada muy sencilla.
Errores frecuentes
- Introducir el diámetro en lugar del radio: en una esfera o una semiesfera el volumen se multiplica por 8, y en un cilindro o un cono por 4, porque su volumen depende de r² y no de r³.
- Confundir la arista del cubo con la longitud, la anchura y la altura independientes de un prisma.
- En el tronco de cono, introducir un radio superior (radius2) mayor que el inferior sin reparar en qué cara es cada una: la fórmula es simétrica, pero el etiquetado determina la orientación.
- Mezclar unidades, como dar la altura en pies mientras el radio va en pulgadas, lo que produce un resultado incorrecto.
- Suponer que el volumen y el área de superficie escalan igual: duplicar el radio de una esfera multiplica el volumen por 8, pero la superficie solo por 4.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se halla el volumen de una esfera?
El volumen de una esfera es (4/3) × π × radio³. Una esfera de radio 3 tiene un volumen de (4/3) × π × 27 ≈ 113,0973 unidades cúbicas.
¿Cuál es el volumen de un cilindro?
El volumen de un cilindro es π × radio² × altura. Un cilindro de radio 3 y altura 5 tiene un volumen de π × 9 × 5 ≈ 141,3717 unidades cúbicas.
¿Cómo se calcula el volumen de un cono?
El volumen de un cono es un tercio de π × radio² × altura. Un cono de radio 3 y altura 5 tiene un volumen de (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47,1239 unidades cúbicas, exactamente un tercio del volumen de un cilindro con el mismo radio y la misma altura.
¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular?
El volumen de un prisma es longitud × anchura × altura. Un prisma de 4 × 3 × 5 tiene un volumen de 4 × 3 × 5 = 60 unidades cúbicas.
¿Cómo se halla el volumen de un tronco de cono?
El volumen de un tronco de cono es (1/3) × π × altura × (r₁² + r₁r₂ + r₂²), donde r₁ y r₂ son los radios de las dos caras circulares. Un tronco con radio inferior 3, radio superior 2 y altura 5 tiene un volumen de (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99,4838 unidades cúbicas.
¿Por qué la calculadora muestra también el área de superficie?
Porque volumen y superficie son dos descriptores habituales de un cuerpo que suelen necesitarse a la vez: el volumen para la capacidad y la superficie para calcular material o recubrimiento, por ejemplo. Ambos se obtienen de las mismas dimensiones introducidas.
¿En qué se diferencian las fórmulas de la esfera y de la semiesfera?
En volumen, una semiesfera es exactamente la mitad de una esfera: V = (2/3)πr³ frente a (4/3)πr³. Su área de superficie, en cambio, no es la mitad, porque incluye además la base circular plana: SA = 3πr² (2πr² de superficie curva más πr² de base), frente a los 4πr² de la esfera completa.
Referencias
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).