Cómo leer el resultado de la fórmula de la distancia
La tabla muestra cómo se relaciona la fórmula con los catetos del triángulo rectángulo que forman los dos puntos.
| Magnitud | Significado |
|---|---|
| x₂ − x₁ | Cateto horizontal del triángulo rectángulo (avance) |
| y₂ − y₁ | Cateto vertical del triángulo rectángulo (elevación) |
| d | Hipotenusa: la distancia en línea recta entre los puntos |
- Cuando ambos puntos comparten la misma coordenada x (una recta vertical), la pendiente no está definida, porque el denominador (x₂ − x₁) vale cero; en ese caso la calculadora indica «indefinida» en lugar de un valor numérico.
- La fórmula devuelve el mismo resultado con independencia de a qué punto se etiquete como 1 y a cuál como 2, ya que ambas diferencias se elevan al cuadrado antes de sumarse.
¿Qué es la fórmula de la distancia?
La fórmula de la distancia calcula la separación en línea recta entre dos puntos, (x₁, y₁) y (x₂, y₂), sobre un plano cartesiano. Se deduce directamente del teorema de Pitágoras: las diferencias horizontal y vertical entre los puntos forman los dos catetos de un triángulo rectángulo, y la distancia entre ellos es la hipotenusa.
Junto a la distancia, esta calculadora devuelve el punto medio (el punto situado justo a mitad de camino entre los dos dados) y la pendiente de la recta que pasa por ambos, que describe su inclinación y su sentido.
Cómo usar esta calculadora de la fórmula de la distancia
- Introduce las coordenadas del primer punto, x₁ e y₁.
- Introduce las coordenadas del segundo punto, x₂ e y₂.
- Consulta la distancia entre ambos puntos, su punto medio y la pendiente y la ordenada en el origen de la recta que los une.
La fórmula de la distancia
La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado a las diferencias horizontal y vertical entre dos puntos.
Errores frecuentes
- Restar las coordenadas en el orden inverso sin recordar que las diferencias se elevan al cuadrado de todos modos, por lo que un error de signo no altera la distancia.
- Olvidar extraer la raíz cuadrada al final: lo que hay bajo el radical es la distancia al cuadrado, no la distancia.
- Dar por hecho que la pendiente siempre existe: una recta vertical (con coordenadas x iguales) tiene pendiente indefinida, no pendiente cero.
- Confundir la fórmula del punto medio (promedio de coordenadas) con la de la distancia (suma pitagórica de diferencias).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la distancia?
La fórmula es d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), deducida del teorema de Pitágoras. Para los puntos (0; 0) y (3; 4), la distancia es √(3² + 4²) = √25 = 5.
¿Cómo se halla el punto medio entre dos puntos?
Se promedian por separado las coordenadas x y las coordenadas y: punto medio = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Para (0; 0) y (3; 4), el punto medio es (1,5 · 2), es decir, x = 1,5 e y = 2.
¿Qué relación hay entre la fórmula de la distancia y el teorema de Pitágoras?
La diferencia horizontal (x₂−x₁) y la vertical (y₂−y₁) entre dos puntos forman los dos catetos de un triángulo rectángulo, y la distancia en línea recta entre ellos es la hipotenusa; de ahí que d = √(cateto₁² + cateto₂²), exactamente el teorema de Pitágoras.
¿Qué significa que la pendiente sea indefinida?
Que los dos puntos comparten la misma coordenada x, de modo que la recta que los une es perfectamente vertical. La división entre cero (x₂ − x₁ = 0) carece de valor definido, así que la pendiente no puede expresarse con un número.
¿Puede ser negativa la distancia entre dos puntos?
No. La distancia siempre es cero o positiva, porque procede de la raíz cuadrada de una suma de cuadrados, que nunca es negativa. Una distancia nula significa que ambos puntos coinciden.
¿Cómo se halla la ecuación de la recta que pasa por dos puntos?
Primero se calcula la pendiente, m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), y después la ordenada en el origen con b = y₁ − m×x₁. Para los puntos (0; 0) y (3; 4), m = 4/3 y b = 0 − (4/3)(0) = 0, lo que da la recta y = (4/3)x.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Distance" and "Midpoint." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard coordinate-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Precalculus, Cengage Learning).