Was sind einfache Zinsen?
Einfache Zinsen werden nur auf den ursprünglichen Kapitalbetrag berechnet, mit der Formel I = P x r x t, wobei P das Kapital, r der als Dezimalzahl ausgedrückte jährliche Zinssatz und t die Zeit in Jahren ist. Da die Zinsen nie in den Betrag zurückfließen, der weitere Zinsen erwirtschaftet, wächst ein Guthaben bei einfachen Zinsen in jeder Periode um genau denselben Dollarbetrag. Zum Beispiel erwirtschaften $10.000, die zu einem einfachen Jahreszinssatz von 5% angelegt werden, im ersten Jahr $500, im zweiten Jahr $500 und in jedem weiteren Jahr $500, was zu einem Gesamtguthaben von P + (P x r x t) führt.
Einfache Zinsen werden in einigen kurzfristigen Kreditkontexten verwendet, etwa bei bestimmten Autokrediten, kurzfristigen Schuldscheinen und einigen Berechnungen von Schatzwechseln, weil sie unkompliziert zu berechnen und vorherzusagen sind. Ihr bestimmendes Merkmal ist das lineare Wachstum: Eine grafische Darstellung des Guthabens über die Zeit bei einfachen Zinsen ist eine gerade Linie, da jede Periode einen identischen, unveränderlichen Zinsbetrag beisteuert, unabhängig davon, wie lange die Anlage bereits gehalten wird.
Was ist der Zinseszins?
Der Zinseszins wird sowohl auf das ursprüngliche Kapital als auch auf alle bereits dem Guthaben hinzugefügten Zinsen berechnet, mit der Formel A = P(1 + r/n)^(nt), wobei A der Endbetrag, P das Kapital, r der jährliche Zinssatz als Dezimalzahl, n die Anzahl der Verzinsungen pro Jahr und t die Zeit in Jahren ist. Da die Zinsen jeder Periode Teil der Basis für die Berechnung der nächsten Periode werden, wächst das Guthaben mit sich beschleunigender statt konstanter Rate.
Die Verzinsungshäufigkeit n beeinflusst das Ergebnis erheblich: n = 1 bei jährlicher Verzinsung, n = 12 bei monatlicher Verzinsung, n = 365 bei täglicher Verzinsung und so weiter. Wenn n in Richtung kontinuierlicher Verzinsung steigt, nähert sich der Wachstumsfaktor der mathematischen Konstante e (der eulerschen Zahl) hoch rt an, wobei der praktische Unterschied zwischen monatlicher und täglicher Verzinsung bei den meisten Spar- und Kreditprodukten für Verbraucher gering ist.
Rechenbeispiel: $10.000 zu 5% über 10, 20 und 30 Jahre
Die folgende Tabelle vergleicht ein Kapital von $10.000, das mit einem Jahreszinssatz von 5% wächst, bei einfachen Zinsen und bei Zinseszins mit monatlicher Verzinsung (n = 12), berechnet mit A = P(1 + r/n)^(nt) für die Zinseszins-Spalte und I = P x r x t für die Spalte der einfachen Zinsen. Die Lücke zwischen den beiden Methoden vergrößert sich mit zunehmendem Zeithorizont erheblich, was verdeutlicht, warum Verzinsungshäufigkeit und Zeithorizont für langfristige Ergebnisse stärker ins Gewicht fallen als der bloße Nominalzinssatz.
| Zeithorizont | Guthaben bei einfachen Zinsen | Guthaben bei Zinseszins (monatlich) | Zusatzbetrag durch Verzinsung |
|---|---|---|---|
| 10 Jahre | $15.000,00 | $16.470,09 | $1.470,09 |
| 20 Jahre | $20.000,00 | $27.126,40 | $7.126,40 |
| 30 Jahre | $25.000,00 | $44.677,44 | $19.677,44 |
Die 72er-Regel: eine schnelle Kopfrechen-Faustregel
Die 72er-Regel ist eine Näherung, mit der geschätzt wird, wie viele Jahre es dauert, bis sich ein Betrag bei einem gegebenen jährlichen Zinseszinssatz verdoppelt, berechnet als 72 geteilt durch den als ganze Zahl ausgedrückten Zinssatz. Zum Beispiel schätzt die 72er-Regel bei einem Jahreszinssatz von 6% eine Verdopplungszeit von 72 / 6 = 12 Jahren; bei 9% beträgt die Schätzung 72 / 9 = 8 Jahre; bei 12% beträgt die Schätzung 72 / 12 = 6 Jahre.
Die 72er-Regel ist am genauesten für jährliche Zinseszinssätze etwa im Bereich von 6% bis 10%, wo der Näherungsfehler am kleinsten ist; bei sehr niedrigen oder sehr hohen Sätzen weicht die Schätzung stärker von der exakten, mit der Zinseszinsformel berechneten Verdopplungszeit ab. Angewendet auf das obige 5%-Beispiel erzeugt die monatliche Verzinsung einen effektiven Jahreszins von etwa 5,12%, was eine geschätzte Verdopplungszeit von rund 72 / 5,12, also etwa 14,1 Jahren, ergibt -- im Einklang damit, dass sich das Guthaben in der Beispieltabelle ungefähr zwischen der 10-Jahres- und der 20-Jahres-Marke verdoppelt.
Warum die Verzinsungshäufigkeit wichtig ist
Bei gleichem angegebenem Jahreszins erzeugt eine häufigere Verzinsung einen höheren effektiven Jahreszins und damit ein höheres Endguthaben. Ein Zinssatz von 5% mit monatlicher Verzinsung (n = 12) erzeugt einen effektiven Jahreszins von etwa 5,12%, höher als der effektive Satz von 5,00% bei jährlicher Verzinsung (n = 1), weil die Zinsen dem Guthaben hinzugefügt werden -- und beginnen, ihre eigenen Zinsen zu erwirtschaften -- zwölfmal pro Jahr statt nur einmal.
Diese Unterscheidung ist der Grund, warum Finanzangaben oft den nominalen (angegebenen) Zinssatz von der jährlichen prozentualen Rendite (APY) oder dem effektiven Jahreszins trennen, der die Verzinsungshäufigkeit berücksichtigt. Zwei Sparprodukte, die denselben Nominalzins bewerben, können unterschiedliche tatsächliche Erträge erzeugen, wenn eines täglich und das andere jährlich verzinst wird, weshalb der Vergleich der effektiven Jahreszinsen -- und nicht nur der Nominalzinsen -- für einen genauen Vergleich zwischen Finanzprodukten notwendig ist.
Praktische Konsequenzen für Sparen und Kreditaufnahme
Der Zinseszins wirkt zugunsten von Sparern und Anlegern: Guthaben, die über lange Zeiträume unangetastet bleiben, profitieren überproportional von dem im Rechenbeispiel gezeigten beschleunigten Wachstum, weshalb ein früher Sparbeginn im Allgemeinen stärker betont wird als die Höhe eines einzelnen Beitrags. Insbesondere Altersvorsorgekonten sind darauf angewiesen, dass jahrzehntelange Verzinsung moderate regelmäßige Beiträge bis zum Zeitpunkt des Bedarfs in deutlich größere Guthaben verwandelt.
Dieselbe Mathematik wirkt gegen Kreditnehmer: Kreditkartensalden, die typischerweise täglich oder monatlich zu hohen Jahreszinssätzen verzinst werden, können schnell wachsen, wenn nur die Mindestzahlungen geleistet werden, weil nicht bezahlte Zinsen dem Saldo hinzugefügt werden und selbst beginnen, Zinsen anzusammeln. Zu verstehen, dass Zinseszinsformeln gleichermaßen für das Wachstum von Ersparnissen und das Wachstum von Schulden gelten, ist zentral für die Bewertung sowohl von Anlageprodukten als auch von Kreditkosten.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen einfachen Zinsen und Zinseszins?
Einfache Zinsen werden nur auf das ursprüngliche Kapital berechnet und lassen ein Guthaben in jeder Periode um denselben festen Dollarbetrag wachsen, mit der Formel I = P x r x t. Der Zinseszins wird auf das Kapital plus alle bereits verdienten Zinsen berechnet, mit der Formel A = P(1 + r/n)^(nt), sodass das Guthaben mit sich beschleunigender Rate wächst. Über lange Zeithorizonte wird der Unterschied erheblich: $10.000 zu 5% über 30 Jahre wachsen bei einfachen Zinsen auf $25.000, aber bei Zinseszins mit monatlicher Verzinsung auf $44.677,44.
Was bedeutet die Verzinsungshäufigkeit (n) in der Zinseszinsformel?
In der Formel A = P(1 + r/n)^(nt) steht n dafür, wie oft pro Jahr Zinsen dem Guthaben hinzugefügt werden. Übliche Werte sind n = 1 für jährliche Verzinsung, n = 4 für vierteljährliche Verzinsung, n = 12 für monatliche Verzinsung und n = 365 für tägliche Verzinsung. Höhere Werte von n erzeugen bei gleichem Nominalzins ein höheres Endguthaben, weil die Zinsen dem Kapital hinzugefügt werden -- und beginnen, ihre eigenen Zinsen zu erwirtschaften -- und zwar häufiger.
Wie funktioniert die 72er-Regel?
Die 72er-Regel schätzt die Anzahl der Jahre, die eine Anlage benötigt, um sich bei einem gegebenen jährlichen Zinseszinssatz zu verdoppeln, indem 72 durch den Zinssatz geteilt wird. Zum Beispiel gilt bei 8% jährlichem Wachstum 72 / 8 = 9 Jahre bis zur ungefähren Verdopplung. Die Näherung ist am genauesten für Sätze zwischen etwa 6% und 10%; außerhalb dieses Bereichs weicht die Schätzung stärker vom exakten, mit der vollständigen Zinseszinsformel berechneten Wert ab.
Ist der Zinseszins für Sparer immer besser?
Der Zinseszins erzeugt für Sparer im Allgemeinen höhere Erträge als einfache Zinsen über die Zeit, da Zinsen zusätzliche Zinsen erwirtschaften, während das Guthaben wächst. Dasselbe Verzinsungsprinzip erhöht jedoch die Kosten von Schulden: revolvierende Salden wie Kreditkarten, die verzinst und nicht vollständig getilgt werden, können durch die Hinzufügung nicht bezahlter Zinsen zum Kapital erheblich wachsen. Ob die Verzinsung einer bestimmten Person hilft oder schadet, hängt davon ab, ob sie die Zinsen verdient oder schuldet.
Macht eine höhere Verzinsungshäufigkeit einen großen praktischen Unterschied?
Der Unterschied zwischen monatlicher und täglicher Verzinsung ist bei den meisten Verbrauchersparkonten und Krediten in Dollarbeträgen typischerweise gering, während der Unterschied zwischen jährlicher und monatlicher Verzinsung deutlicher spürbar ist. Bei einem nominalen Jahreszins von 5% erzeugt die monatliche Verzinsung einen effektiven Jahreszins von etwa 5,12%, verglichen mit genau 5,00% bei jährlicher Verzinsung -- ein bescheidener, aber messbarer Unterschied, der mit wachsenden Guthaben und Zeithorizonten bedeutsamer wird.
Quellenangaben
- U.S. Securities and Exchange Commission, Office of Investor Education and Advocacy. "Compound Interest Calculator." Investor.gov.
- FINRA Investor Education Foundation. "The Rule of 72." FINRA.org.
- Ross SA, Westerfield RW, Jaffe J, Jordan BD. Corporate Finance. 12th ed. McGraw-Hill Education, 2019.
- Fisher I. The Theory of Interest. Macmillan, 1930.