جدول تحويل وحدات الزاوية
كل وحدة ككسر من الدورة الكاملة، بقيمتها بالدرجات وبالراديان.
| الوحدة | درجات | راديان | كسر من الدورة |
|---|---|---|---|
| 1 دورة | 360 | 6.2831853 | 1 |
| 1 درجة | 1 | 0.017453293 | 1/360 |
| 1 غراد | 0.9 | 0.015707963 | 1/400 |
| 1 راديان | 57.295780 | 1 | 1/(2π) |
| 1 دقيقة قوسية | 0.016666667 | 0.00029088821 | 1/21,600 |
| 1 ثانية قوسية | 0.00027777778 | 0.0000048481368 | 1/1,296,000 |
| 1 مليراديان | 0.057295780 | 0.001 | 1/(2000π) |
- كل معاملات هذا الجدول دقيقة بحكم التعريف. والقيم العشرية المعروضة مقرَّبة، لكن العلاقات التي تقوم عليها — 360 درجة و400 غراد و2π راديان في الدورة — لا تحمل أي عدم يقين في القياس.
- المليراديان المستعمل هنا هو المليراديان الزاوي الحقيقي، 1/1000 راديان. وتستعمل عدة رياضات رماية mil مختلفًا قليلًا: إذ يقسم mil حلف الناتو الدورة إلى 6,400 جزء بدل 6,283.19، فتحقّق أيّهما يقصد المنظار أو الشعيرات قبل التحويل.
- دوال المثلثات في جداول البيانات ولغات البرمجة تتوقع الراديان في جميع الأحوال تقريبًا. وتمريرُ الدرجات إليها من أكثر أسباب الهندسة الخاطئة صمتًا شيوعًا.
ما وحدات الزاوية الشائعة؟
تقيس الزاوية دورانًا، وكل وحدة كسر من الدورة الكاملة. فالدرجة تقسم الدورة إلى 360 جزءًا، وهو عرف موروث عن الفلك البابلي بقي لأن 360 يقبل القسمة على عدد كبير من الأعداد الصحيحة. أما الراديان فيقسمها إلى 2π جزءًا وهو وحدة النظام الدولي: الراديان الواحد هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف القطر.
والراديان ليس اختيارًا اعتباطيًا. فحساب التفاضل والتكامل يفترضه — إذ لا تكون مشتقة sin x مساوية لـ cos x إلا إذا كانت x بالراديان — وكذلك صيغتا طول القوس ومساحة القطاع، ولهذا يجب تحويل زاوية أُدخلت بالدرجات قبل تطبيق أي منها.
والغراد، ويسمى أيضًا غون، يقسم الدورة إلى 400 جزء بحيث تكون الزاوية القائمة 100 gon بالضبط. ويُستعمل في المساحة، خصوصًا في أوروبا القارية. وتقسم الدقائق والثواني القوسية الدرجة على 60 وعلى 3,600 للفلك والملاحة، ويُستعمل المليراديان في البصريات والباليستيات، حيث يقابل المليراديان الواحد نحو متر واحد على بعد كيلومتر.
كيفية استخدام محوّل الزوايا
- أدخل الزاوية التي تريد تحويلها. والقيم السالبة مقبولة: فالاتجاه أو الدوران يمكن قياسه في أي من الجهتين.
- اختر وحدتها: درجات أو راديان أو غراد أو دورات أو دقائق قوسية أو ثوانٍ قوسية أو مليراديان.
- اقرأ المكافئ في جميع الوحدات الأخرى دفعة واحدة.
- استعمل الراديان لكل قيمة تدخل في صيغة مثلثية أو مشتقة أو حساب طول قوس.
معاملات التحويل وراء محوّل الزوايا
تُحوَّل القيمة إلى راديان ثم منها إلى كل وحدة هدف. ولأن الدورة الكاملة تساوي في آن واحد 2π راديان و360 درجة و400 غراد ودورة واحدة، فإن كل المعاملات تُشتق من هذه المتطابقات بدقة.
مثال محلول: 45° بالراديان تساوي 45 × π/180 = π/4 = 0.78539816 rad. وبالغراد: 45 × 400/360 = 50 gon بالضبط. وبالدورات: 45/360 = 0.125 بالضبط. وبالثواني القوسية: 45 × 3,600 = 162,000 بالضبط.
أخطاء شائعة
- تمرير الدرجات إلى دالة مثلثية تتوقع الراديان. فإذا قُرئت 30 على أنها راديان صارت sin(30) تساوي −0.988، لا 0.5 التي أردتها.
- الخلط بين المليراديان الزاوي (1/1000 rad، 6,283.19 في الدورة) وmil حلف الناتو (6,400 في الدورة). بينهما نحو 1.9%.
- قراءة الدقائق القوسية على أنها دقائق زمنية. فالدقيقة القوسية 1/60 درجة؛ والرمزان ′ و″ هنا للزاوية لا للمدة.
- افتراض أن الزاوية القائمة 90 في كل وحدة. إنها 90°، لكنها 100 gon وπ/2 rad و0.25 دورة.
الأسئلة الشائعة
كم درجة في 1 راديان؟
57.295780 درجة، أي 180/π. وتنشأ العلاقة من كون الدورة الكاملة 360 درجة و2π راديان معًا، فيكون الراديان الواحد 360/(2π) = 180/π درجة. والتحويل العكسي هو 1° = π/180 ≈ 0.017453293 rad.
لماذا يستعمل علماء الرياضيات الراديان بدل الدرجات؟
لأن حساب التفاضل والتكامل لا يستقيم إلا بالراديان. فمشتقة sin x تساوي cos x، وتقريب الزوايا الصغيرة sin x ≈ x، لا يصحّان إلا إذا قيست x بالراديان. وكذلك يفترضهما طول القوس (rθ) ومساحة القطاع (½r²θ). وبالدرجات يكتسب كل من هذه التعابير معامل π/180.
فيمَ يُستعمل الغراد؟
في المساحة أساسًا، وبخاصة في أوروبا القارية. فقسمة الدورة إلى 400 جزء تجعل الزاوية القائمة 100 gon بالضبط، فتقع الأرباع والميول على أعداد صحيحة — وهو تيسير عند قراءة الثيودوليت. ويسمى أيضًا غون أو غراد.
كم ثانية قوسية في الدرجة؟
3,600. فالدرجة تنقسم إلى 60 دقيقة قوسية، وكل دقيقة قوسية إلى 60 ثانية قوسية، أي 3,600 ثانية قوسية في الدرجة و1,296,000 في الدورة الكاملة. ويستعمل الفلكيون هذه التقسيمات لأن مواضع الأجرام تتطلب تمييزًا أدق بكثير مما تتيحه الدرجة.
ما المليراديان عمليًا؟
جزء من ألف من الراديان، يقابل نحو متر واحد بالضبط على بعد كيلومتر — وهي الخاصية التي تجعله مفيدًا في البصريات وقياس المدى. ويجدر التنبّه إلى أن بعض رياضات الرماية تستعمل mil معرَّفًا بأنه 1/6400 من الدورة، بفارق نحو 1.9%.
المراجع
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019 — the radian as the coherent SI unit of plane angle, and the degree, minute and second accepted for use with the SI.
- NIST Special Publication 811 (Thompson & Taylor). Guide for the Use of the International System of Units (SI), 2008 — plane-angle conversion factors.