فهم اصطلاحات الإشارة
يعطي الاصطلاحان النتيجة نفسها متى كان العددان موجبين، لكنهما يفترقان كلما دخلت قيمة سالبة، كما يوضّح الجدول التالي.
| a | b | ناتج القسمة الأرضية (إشارة b) | ناتج القطع (إشارة a) |
|---|---|---|---|
| 13 | 5 | 3 | 3 (متطابقان — كلاهما موجب) |
| −13 | 5 | 2 | −3 |
| 13 | −5 | −2 | 3 |
| −13 | −5 | −3 | −3 (متطابقان — كلاهما سالب) |
- باقي القسمة الأرضية (وهو النتيجة الأساسية المعتمدة هنا) هو الاصطلاح الأشيع في الرياضيات البحتة ونظرية الأعداد، وهو يطابق معامل % المدمج في بايثون.
- أما باقي القطع (المعروض كنتيجة ثانوية) فيطابق معامل % المدمج في جافاسكريبت وC وC++ وجافا ومعظم لغات عائلة C، حيث تتبع إشارة الباقي إشارة المقسوم.
- باقي القسمة على صفر غير معرّف ولا تحسبه هذه الأداة؛ إذ يجب أن يكون المقسوم عليه عددًا غير صفري.
ما عملية باقي القسمة؟
عملية باقي القسمة، وتُكتب a mod b (أو a % b)، تُعطي الباقي عند قسمة a على b. فمثلًا 13 mod 5 = 3، لأن 13 = 2 × 5 + 3، أي إن قسمة 13 على 5 تعطي خارج قسمة مقداره 2 ويتبقى 3. وباقي القسمة ركن أساسي في نظرية الأعداد (الحساب القياسي أو حساب الساعة)، وفي علوم الحاسوب (التجزئة، والفهرسة الدورية، ومجاميع التحقق)، وفي التفكير اليومي بالبواقي والدورات كأيام الأسبوع أو ساعات اليوم.
ويشيع استخدام اصطلاحين رياضيين لتحديد إشارة الناتج عند وجود أعداد سالبة: باقي القسمة الأرضية، حيث تأخذ النتيجة دائمًا إشارة المقسوم عليه b، وباقي القطع، حيث تأخذ النتيجة دائمًا إشارة المقسوم a. وكلاهما تعريف رياضي سليم لمفهوم «الباقي»، ويتطابقان تمامًا متى كان a وb موجبين، ولا يفترقان إلا عند وجود قيمة سالبة.
ويكتسب اختيار الاصطلاح أهمية عملية لأن لغات البرمجة تعتمد إعدادات افتراضية مختلفة: فمعامل % في بايثون يطبّق القسمة الأرضية، بينما تعتمد جافاسكريبت وC وC++ وجافا ومعظم لغات عائلة C اصطلاح القطع (أي إشارة المقسوم). ولهذا تعرض هذه الحاسبة النتيجتين صراحةً كي تقرأ أيًّا من الاصطلاحين مباشرة.
كيفية استخدام حاسبة باقي القسمة
- أدخل المقسوم (a)، أي العدد الذي تجري قسمته.
- أدخل المقسوم عليه (b)، أي العدد الذي تقسم عليه. ولا يجوز أن يكون المقسوم عليه 0، لأن القسمة (وباقي القسمة معها) غير معرّفة على الصفر.
- اقرأ نتيجة اصطلاح القسمة الأرضية (حيث تطابق الإشارةُ إشارةَ المقسوم عليه دائمًا)، وهو الاصطلاح الرياضي الأكثر شيوعًا في نظرية الأعداد.
- قارنها بنتيجة اصطلاح القطع (حيث تطابق الإشارةُ إشارةَ المقسوم دائمًا) إذا احتجت إلى مطابقة معامل % المدمج في لغة برمجة بعينها، وراجع خارج القسمة ومعادلة القسمة الكاملة للاطلاع على التفصيل خطوة بخطوة.
صيغتا القسمة الأرضية والقطع
يعرّف اصطلاح القسمة الأرضية خارج القسمة بأنه q = ⌊a ÷ b⌋ (بالتقريب نزولًا نحو سالب ما لا نهاية)، ثم r = a − b×q. وهذا يضمن أن يحمل الباقي r إشارة المقسوم عليه b دائمًا (أو يكون صفرًا)، وأن يتحقق 0 ≤ r < |b| عندما b > 0. مثال محلول: 13 mod 5: q = ⌊13/5⌋ = 2، r = 13 − 5×2 = 3.
ومثال محلول بمقسوم سالب: −13 mod 5 (بالقسمة الأرضية): q = ⌊−13/5⌋ = ⌊−2.6⌋ = −3، r = −13 − 5×(−3) = −13 + 15 = 2. ولاحظ أن الناتج موجب (مطابقًا للمقسوم عليه الموجب)، وهو يخالف نتيجة القطع الواردة أدناه.
أما اصطلاح القطع فيعرّف خارج القسمة بالتقريب نحو الصفر بدلًا من التقريب نحو سالب ما لا نهاية، ثم يحسب الباقي بالطريقة نفسها؛ وهذا يضمن أن يحمل الباقي إشارة المقسوم a دائمًا (أو يكون صفرًا). مثال محلول: −13 mod 5 (بالقطع، وهو ناتج معامل % في جافاسكريبت وC وجافا): يُقرَّب خارج القسمة −2.6 نحو الصفر ليصبح −2، ومنه r = −13 − 5×(−2) = −13 + 10 = −3، أي ناتج سالب مطابق لإشارة المقسوم السالب، على خلاف نتيجة القسمة الأرضية البالغة +2 للمدخلات نفسها.
أخطاء شائعة
- افتراض أن جميع لغات البرمجة تحسب a mod b بالطريقة نفسها مع الأعداد السالبة — فجافاسكريبت وC وC++ وجافا تعتمد اصطلاح القطع، بينما تعتمد بايثون وكثير من المراجع الرياضية القسمة الأرضية، وتختلف النتيجتان كلما كان a سالبًا.
- نسيان أن ناتج القسمة الأرضية يحمل إشارة المقسوم عليه لا إشارة المقسوم — وهو عكس ما يعطيه اصطلاح القطع المعتمد في جافاسكريبت.
- محاولة حساب a mod 0 — فعملية باقي القسمة، شأنها شأن القسمة نفسها، غير معرّفة عندما يكون المقسوم عليه صفرًا.
- إدخال أعداد غير صحيحة مع توقّع سلوك الحساب القياسي على الأعداد الصحيحة — فهذه الحاسبة تقبل الأعداد الحقيقية وتطبّق منطق التقريب الأرضي أو القطع نفسه، غير أن كثيرًا من خصائص الحساب القياسي الكلاسيكية (مثل حساب الساعة) معرّفة للأعداد الصحيحة تحديدًا.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين اصطلاح القسمة الأرضية واصطلاح القطع؟
في القسمة الأرضية يُقرَّب خارج القسمة نحو سالب ما لا نهاية، فيحمل الباقي إشارة المقسوم عليه دائمًا. وفي القطع يُقرَّب خارج القسمة نحو الصفر، فيحمل الباقي إشارة المقسوم دائمًا. ويتفق الاصطلاحان عندما يكون العددان موجبين، ويختلفان إذا كان أحدهما سالبًا؛ فمثلًا −13 mod 5 تساوي 2 وفق القسمة الأرضية و−3 وفق القطع.
لماذا تعطي −13 mod 5 نتائج مختلفة في حاسبات مختلفة؟
يعود ذلك إلى اصطلاح الإشارة المعتمد. فالقسمة الأرضية تعطي 2 (إذ يطابق الناتج إشارة المقسوم عليه الموجب ويحقق 0 ≤ r < 5)، بينما يعطي القطع −3 (إذ يطابق الناتج إشارة المقسوم السالب). ومعامل % في بايثون يعيد 2 (أرضية)، في حين تعيد معاملات % في جافاسكريبت وC وجافا القيمة −3 (قطع). ولا يمكن القول إن أحدهما «أصح» من الآخر، فهما تعريفان رياضيان مختلفان وصحيحان على حد سواء.
كيف تحسب a mod b يدويًا؟
اقسم a على b للحصول على خارج القسمة، ثم قرّبه وفق الاصطلاح الذي اخترته (نزولًا في القسمة الأرضية، ونحو الصفر في القطع)، ثم اطرح من a حاصل ضرب b في خارج القسمة المقرَّب: الباقي = a − b × خارج القسمة. ففي 13 mod 5: 13 ÷ 5 = 2.6، ويُقرَّب إلى 2 في الاصطلاحين، ومنه الباقي = 13 − 5×2 = 3.
ماذا تعني mod في الحساب القياسي وحساب الساعة؟
يتعامل الحساب القياسي مع الأعداد على أنها «تلتف» عائدة إلى البداية عند بلوغ القياس؛ وأشهر مثال على ذلك ساعة الاثنتي عشرة، حيث يُحسب الوقت mod 12 (أو mod 24 في نظام الأربع والعشرين ساعة). فمثلًا الساعة 15 في نظام الأربع والعشرين ساعة تقابل 15 mod 12 = 3 على قرص الساعة ذي الاثنتي عشرة ساعة. وباقي القسمة هو العملية التي تنتج هذا الباقي «الملتف».
هل يمكن حساب باقي القسمة على مقسوم عليه سالب؟
نعم. ففي اصطلاح القسمة الأرضية تعطي a mod b (مع b سالب) باقيًا يحمل إشارة b؛ فمثلًا 13 mod −5 = −2، لأن 13 = (−3)×(−5) + (−2). أما في اصطلاح القطع فيطابق الباقي إشارة المقسوم بدلًا من ذلك: 13 mod −5 = 3 بالقطع، لأن خارج القسمة يُقرَّب نحو الصفر ليصبح −2، ومنه 13 − (−5)×(−2) = 13 − 10 = 3.
المراجع
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (Division algorithm and modular arithmetic.)
- Leijen D. Division and Modulus for Computer Scientists. Utrecht University Technical Report UU-CS-2001-20, 2001. (Formal comparison of flooring, truncating and Euclidean division conventions.)
- ECMA International. ECMA-262: ECMAScript Language Specification — the remainder operator (%). ecma-international.org.