Z分数公式:将数值标准化
Z分数,也叫标准分数,把一个原始数值转换为衡量它与所属分布均值之间距离的指标,单位是标准差,而不是原始单位。计算公式为z = (x - 均值) / 标准差,其中x是被标准化的数值。z分数为0意味着该数值恰好等于均值;z分数为正意味着该数值高于均值;z分数为负意味着该数值低于均值。
以这种方式标准化数值,使得比较来自不同量表或不同分布的测量结果成为可能——例如,比较一名学生在两次均值和离散程度都不同的考试中的表现,或者将某项实验室检测结果与参考范围进行比较。由于z分数去除了原始单位和原始量表,z分数为+1时,无论测量的是什么,始终表示同样的相对含义(高出其所属分布均值一个标准差)。
“高于均值两个标准差”是什么意思?
说一个数值高于均值两个标准差,只是换一种方式表达它的z分数为+2:该数值偏离均值的程度,是典型观测值偏离程度的两倍(以标准差衡量)。由于标准差衡量的是数据的典型离散程度,z分数达到2或更高(或-2或更低)通常被视为不寻常,因为在近似正态分布中,只有相对很少的观测值会落在离中心这么远的地方。
这种表述纯粹是描述数值在分布中的位置——它本身并不说明高于均值两个标准差是好是坏,还是中性的。在考试分数分布中,z分数为+2通常表示成绩优异,而在血压分布中,z分数为+2通常表示读数远高于正常水平、值得临床关注。z分数报告的是与均值的距离;而这段距离意味着什么,则始终取决于所测量的对象。
标准正态分布与百分位数
当基础数据近似正态(钟形)分布时,可以借助标准正态累积分布函数,将z分数转换为百分位数,该函数给出了分布中落在某个z分数以下的比例。这种转换使得z分数可以被重新表述为“该数值高于分布中大约X%的部分”。下表列出了z分数从-2到+3的整数值所对应的标准、公认的百分位数。
| Z分数 | 百分位数(分布中低于该值的比例) | 高于该值的比例 |
|---|---|---|
| -2 | 2.28% | 97.72% |
| -1 | 15.87% | 84.13% |
| 0 | 50.00% | 50.00% |
| +1 | 84.13% | 15.87% |
| +2 | 97.72% | 2.28% |
| +3 | 99.87% | 0.13% |
实例演算:将原始分数转换为百分位数
假设某数值x = 130,取自均值为100、标准差为15的分布(经典的智商分数量表)。第1步:计算z分数,z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2。第2步:在标准正态分布中查找z = 2,对应第97.72百分位,意味着该分布中大约97.72%的数值落在130或以下,大约2.28%落在其上。
第二个例子采用同一量表:数值x = 85得到z = (85 - 100) / 15 = -15 / 15 = -1,对应第15.87百分位——意味着该数值低于分布中大约84.13%的部分,高于大约15.87%的部分。这两个例子的整个计算都归结为两个步骤:先把数值标准化为z分数,再从标准正态分布中读出对应的百分位数。
68-95-99.7经验法则
对于近似正态的数据,经验法则(有时称为68-95-99.7法则)提供了一种快速判断z分数有多不寻常的方法,而无需完整查表:大约68%的数值落在距均值一个标准差以内(z介于-1与+1之间),大约95%落在两个标准差以内(z介于-2与+2之间),大约99.7%落在三个标准差以内(z介于-3与+3之间)。
这一法则直接来自上文的百分位表:z = -1到z = +1之间的比例为84.13% - 15.87% = 68.26%,z = -2到z = +2之间的比例为97.72% - 2.28% = 95.44%,z = -3到z = +3之间的比例为99.87% - 0.13% = 99.74%——都与通常引用的68%、95%和99.7%的近似值一致。这一法则仅适用于基础分布近似正态的情形;偏态或重尾数据即便仍可计算z分数,其实际比例也可能与这些数值有较大出入。
常见问题
如何计算z分数?
用数值减去均值,再除以标准差:z = (x - 均值) / 标准差。例如,在均值为100、标准差为15的量表上,数值130的z分数为z = (130 - 100) / 15 = 2,意味着该数值高出均值两个标准差。
z分数为2对应哪个百分位数?
大约第97.72百分位。标准正态分布中,大约97.72%的数值落在z分数2或以下,意味着具有该z分数的数值高于分布中大约97.72%的部分,低于大约2.28%的部分,前提是基础数据近似正态分布。
高于均值两个标准差是什么意思?
这意味着该数值的z分数为+2:它高于均值的程度,是典型观测值偏离程度的两倍(以标准差衡量)。对于近似正态的数据,大约97.72%的分布落在该数值或以下,使其成为相对少见的结果——不过这是否理想,完全取决于所测量的对象。
z分数是否要求数据服从正态分布?
z分数本身的计算,z = (x - 均值) / 标准差,适用于任何分布,并不要求正态性。然而,像上文示例那样借助标准正态分布将z分数转换为百分位数,只有在基础数据近似正态(钟形)分布时才准确;对于偏态或重尾数据,百分位数应直接从数据本身读取。
什么是68-95-99.7法则?
这是对近似正态分布中,落在均值一个、两个和三个标准差范围内的比例的一种简便概括:大约68%落在一个标准差以内(z介于-1与+1之间),大约95%落在两个标准差以内(z介于-2与+2之间),大约99.7%落在三个标准差以内(z介于-3与+3之间)。它提供了一种无需完整百分位查表、就能快速判断某数值有多不寻常的方法。
参考文献
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 26.2.17).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).