❗ Faktöriyel Hesaplama

Faktöriyellerin ne kadar hızlı büyüdüğünü anlamak

Aşağıdaki tam ve yaklaşık değerler tablosunda gösterildiği gibi, faktöriyel büyümesi üstel büyümeyi hızla geride bırakır.

• 18! (≈6,40 × 10¹⁵), güvenli tam sayı sınırının altında kalan en büyük faktöriyeldir, çünkü JavaScript'in Number.MAX_SAFE_INTEGER değeri 2⁵³ − 1 ≈ 9,007 × 10¹⁵'tir; bu nedenle bu hesaplayıcı yalnızca n = 18'e kadar tam bir değer gösterir. Bu sınırın ötesinde de faktöriyeller 22! değerine kadar çift hassasiyetli sayı olarak tam biçimde gösterilebilir, çünkü her faktöriyel çok sayıda 2 çarpanı içerir; yuvarlanan ilk faktöriyel ise 23! olur.
• 19'dan 170'e kadar olan n değerleri için yalnızca bilimsel gösterim yaklaşıklığı (ve ln(n!)) gösterilir, çünkü tam tam sayı değeri, büyük tam sayı kütüphanesi olmadan standart kayan noktalı aritmetiğin desteklediğinden daha fazla hassasiyet gerektirir.
• n = 170'in ötesinde, n!, standart çift hassasiyetli kayan noktalı sayıların temsil edebileceği en büyük değeri (yaklaşık 1,8 × 10³⁰⁸) aşar ve sonsuza taşar, bu nedenle bu hesaplayıcı n'yi 170 ile sınırlar.

Faktöriyel nedir?

Negatif olmayan bir n tam sayısının faktöriyeli, n! ile gösterilir ve 1'den n'ye kadar tüm pozitif tam sayıların çarpımı olarak tanımlanır: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1. Örneğin, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Tanım gereği, 0! = 1'dir (boş bir çarpım, çarpımsal birim öğe), bu kombinatorik boyunca kullanılan standart bir kuraldır.

Faktöriyeller son derece hızlı büyür — n'nin üstel fonksiyonlarından çok daha hızlı. 10! = 3.628.800, 20! ise şimdiden 2,4 kentilyonu (2,43 × 10¹⁸) aşar, bu da Büyük Patlama'dan bu yana geçen saniye sayısından daha büyüktür. Bu patlayıcı büyüme, faktöriyellerin daha büyük n değerleri için tipik olarak bilimsel gösterimle gösterilmesinin ve tam tam sayı değerlerinin belirli bir noktadan sonra göstermenin pratik olmaktan çıkmasının nedenidir.

Faktöriyeller kombinatoriğin temelidir: n farklı nesneyi sırayla düzenlemenin yollarının sayısını (permütasyonlar) sayarlar ve sırasız seçimleri (kombinasyonlar) saymak için kullanılan binom katsayısı formülünde payda olarak görünürler. Ayrıca olasılık teorisinde, kalkülüste (Taylor serisi katsayıları) ve birçok kapalı form kombinatorik özdeşlikte görünürler.

Bu faktöriyel hesaplama aracı nasıl kullanılır

1. 0 ile 170 arasında bir n tam sayısı girin (170!, standart çift hassasiyetli kayan noktalı sayıların sonsuza taşmadan önce temsil edebileceği en büyük faktöriyele yakındır).
2. Sonucu, n'nin büyüklüğünden bağımsız olarak her zaman gösterilen bilimsel gösterimde okuyun.
3. n <= 18 için, n!'in tam tam sayı değeri de gösterilir, çünkü daha büyük faktöriyeller standart çift hassasiyetli aritmetikte tam olarak gösterilebilir tam sayıların aralığını aşar (2⁵³ ≈ 9,007 × 10¹⁵).
4. n!'in doğal logaritmasını (taşma olmadan çok büyük faktöriyellerle çalışmak için kullanışlıdır) ve n!'in tam ondalık gösterimindeki sondaki sıfır sayısını inceleyin.

Faktöriyeller, sondaki sıfırlar ve ln(n!) nasıl hesaplanır

Tanımlayıcı özyinelemeli ilişki n! = n × (n − 1)!'dir, temel durum 0! = 1'dir. Çözülmüş örnek: 5! = 5 × 4! = 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 0! = 120 × 1 = 120.

Büyük n için, doğal logaritma ln(n!), k = 2'den n'ye kadar Σ ln(k) toplamı olarak hesaplanır, bu da ham faktöriyeli doğrudan çarparak ortaya çıkacak taşmayı önler. Bilimsel gösterim daha sonra bu toplamdan 10 tabanlı logaritma aracılığıyla türetilir: log₁₀(n!) = ln(n!) ÷ ln(10), burada tam sayı kısmı üssü, kesirli kısım ise (10^x ile geri dönüştürülerek) mantisi verir.

n!'deki sondaki sıfır sayısı, 10'un n!'i tam olarak kaç kez böldüğüne eşittir; bu da — 10 = 2 × 5 olduğundan ve bir faktöriyelde 2 çarpanları her zaman 5 çarpanlarından daha bol olduğundan — Legendre formülü kullanılarak 5 çarpanlarını saymaya indirgenir: sondaki sıfırlar = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... 10! için çözülmüş örnek: ⌊10/5⌋ = 2, ⌊10/25⌋ = 0, dolayısıyla 10!'in 2 sondaki sıfırı vardır — 10! = 3.628.800 ile doğrulanır.

Sık yapılan hatalar

• 0! = 1 olduğunu unutmak, 0 değil — bu standart bir matematiksel kuraldır (boş bir çarpım 1'e eşittir), kombinatorik formüllerin sınır durumlarında doğru çalışması için gereklidir.
• Standart aritmetikte faktöriyellerin keyfi olarak büyük n için tam olarak hesaplanabileceğini varsaymak — n = 22'nin ötesinde, tam tam sayı değerleri, çift hassasiyetli kayan noktalı sayıların yuvarlama olmadan gösterebileceğinin ötesine geçer.
• n! (faktöriyel) ile nⁿ (n'nin n'inci kuvveti) karıştırmak — faktöriyel, azalan bir tam sayı dizisini 1'e kadar çarpar, üs alma ise n'yi kendisiyle n kez çarpar; ikisi farklı oranlarda büyür ve hızla birbirinden ayrılır (5! = 120'ye karşı 5⁵ = 3.125).
• Negatif bir sayı veya tam sayı olmayan bir sayı girmek — faktöriyel, bu temel anlamda yalnızca negatif olmayan tam sayılar için tanımlıdır (Gama fonksiyonu kavramı tam sayı olmayanlara genişletir, ancak bu ayrı, daha ileri düzey bir formüldür).

Sıkça Sorulan Sorular

Kaynaklar

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §5.1 Gamma Function: Factorial Function. dlmf.nist.gov.
2. Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Factorials and combinatorics.)
3. Graham RL, Knuth DE, Patashnik O. Concrete Mathematics. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994. (Legendre's formula for factors in n!.)