単位円上の座標:(cos theta, sin theta)
単位円とは、座標平面の原点(0,0)を中心とした、半径がちょうど1の円のことです。x軸の正の方向から反時計回りに測った任意の角thetaについて、原点からその角度で直線を引き、円と交わる点を求めると、その点のx座標はcos(theta)、y座標はsin(theta)に等しくなります。円の半径が1であるため、これは拡大縮小を一切必要とせず、そのまま成り立ちます。
これはあらゆる三角関数の恒等式の土台となる幾何学的な定義です。コサインとは、定義上、与えられた角における単位円上のx座標であり、サインはy座標です。タンジェントはこの2つの比としてそのまま導かれます:tan(theta) = sin(theta) / cos(theta)。これは幾何学的には、原点から円上のその点までを結ぶ直線の傾きを表しています。
象限ごとの符号:サインとコサインが正になる場所、負になる場所
座標平面はx軸とy軸によって4つの象限に分けられます。サインとコサインは単位円上のある点のy座標とx座標にほかならないため、それぞれの象限における符号は、その象限における座標の符号からそのまま決まります。
このパターンは「All Students Take Calculus」という語呂合わせで覚えられることがあります。これは第I象限から反時計回りに、どの関数が正になるかを表したものです:第I象限では3つの関数すべてが正、第II象限ではサインのみが正、第III象限ではタンジェントのみが正、第IV象限ではコサインのみが正になります。
| 象限 | 角度の範囲 | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | 正 | 正 | 正 |
| II | 90°-180° | 正 | 負 | 負 |
| III | 180°-270° | 負 | 負 | 正 |
| IV | 270°-360° | 負 | 正 | 負 |
基準角:第I象限以外での正確な値を求める
基準角とは、ある角の終辺と、それに最も近いx軸との間に形成される、常に0度から90度の間にある鋭角のことです。基準角を使うと、任意の角を5つの標準的な第I象限の角のいずれかに関連づけ、その後、実際の角が属する象限に応じた正しい符号を適用することで、任意の角のサイン・コサイン・タンジェントの正確な値を求めることができます。
例えば150度の角は第II象限にあり、その基準角は180 - 150 = 30度です。第II象限ではサインが正であるため、sin(150度)は正のsin(30度) = 0.5に等しくなります。第II象限ではコサインが負であるため、cos(150度)は負のcos(30度)、約-0.8660に等しくなります。基準角が大きさを与え、象限が符号を与えます。
0/30/45/60/90度の標準表
第I象限に属する0、30、45、60、90度という5つの角は、長い小数ではなく正確な数値として表せるサイン・コサインの値を持ち、これらが基準角を通じて他のすべての標準角の正確な三角関数値を求める土台となります。以下の表は、それぞれについて正確な形と小数近似の両方を示しています。
対称性に注目してください。0度から90度までのサインの値(0、1/2、sqrt(2)/2、sqrt(3)/2、1)は、コサインの値をちょうど逆順に並べたものであり、これはサインとコサインが余角の関係にある関数であることの直接的な帰結です——任意の角thetaについて sin(theta) = cos(90度 - theta) が成り立ちます。
| 角度 | sin theta(正確な値) | sin theta(小数) | cos theta(正確な値) | cos theta(小数) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0.5 | sqrt(3)/2 | 0.8660 |
| 45° | sqrt(2)/2 | 0.7071 | sqrt(2)/2 | 0.7071 |
| 60° | sqrt(3)/2 | 0.8660 | 1/2 | 0.5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
共終角と1回転を超える角度
360度を超える角度、あるいは負の角度も、単位円上の特定の点に対応します。それらは単に円を1周以上余分に回っているだけです。共終角とは、360度を加えるか引くかを繰り返して0度から360度の範囲に収めた、1回転の範囲内での等価な角度のことです。
例えば405度の角の共終角は 405 - 360 = 45度であり、両方の角が単位円上の全く同じ位置を指すため、サイン・コサイン・タンジェントの値がすべて等しくなります。同様に、-30度の角の共終角は -30 + 360 = 330度であり、これは第IV象限に位置します。
よくある質問
単位円上のある角における点の座標は何ですか?
x軸の正の方向から反時計回りに測った任意の角thetaについて、単位円上の対応する点の座標は正確に(cos theta, sin theta)です。x座標は常にその角のコサイン、y座標は常にその角のサインであり、円の半径が1であるため追加の拡大縮小は一切必要ありません。
sin(60度)の正確な値は何ですか?
sin(60度)は3の平方根を2で割った値に等しく、正確な値でありながら約0.8660に相当します。その余角の関数であるcos(60度)はちょうど1/2 = 0.5に等しく、これはsin(60度) = cos(90度 - 60度) = cos(30度)と整合しています。
基準角はどのように求めますか?
基準角とは、ある角の終辺と最も近いx軸との間の鋭角です。第II象限では180度からその角を引き、第III象限ではその角から180度を引き、第IV象限では360度からその角を引きます。150度(第II象限)の場合、基準角は180 - 150 = 30度です。
なぜ第II象限ではコサインが負になるのですか?
コサインは単位円上の点のx座標に等しく、第II象限(90度から180度の間の角)にあるすべての点はy軸の左側にあるため、x座標が負になるからです。第II象限の点はy座標が正のままであるため、サインはそこでは正のままです。
共終角とは何ですか?
共終角とは、360度単位で整数回だけ角度を減らす(または増やす)ことで、単位円上の全く同じ点に到達する角度のことです。405度の角の共終角は 405 - 360 = 45度で、これは両方とも円上の同じ位置を表しているため、サイン・コサイン・タンジェントの値が完全に一致します。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).