将来価値:定期的な積立が何に成長するか
年金の積立段階とは、退職などの将来のある目標時点まで、口座に一定額の積立を行い、それが一定の利回りで成長していく期間のことである。この計算モデルは通常型年金(期末払い年金)をモデル化しており、各支払いは各期間の終わりに発生する──これは401(k)やIRAの給与天引き積立など、ほとんどの退職積立スケジュールにおける標準的な慣行である。
試算例:年利7%で月$500を20年間(240か月)積み立てると、将来価値は$260,463.33に成長する。その期間の積立総額は$120,000(240回×$500)であるため、利回りによる成長分だけで最終残高のうち$140,463.33を占めることになる。
- 将来価値 FV = PMT × [((1 + r)^n − 1) ÷ r]、PMT=月額積立額、r=年利÷12、n=年数×12
- 積立総額=PMT × n;成長分=FV−積立総額
現在価値:将来の支払いの流れが今日いくらの価値を持つか
現在価値は別の問いに答える:年金給付、構造化和解金、賃貸収入といった、一定額の将来の支払いの流れが与えられたとき、貨幣の時間的価値を反映した割引率のもとで、その流れは今日いくらの価値があるのか、という問いである。割引は、今手元にある資金は運用によって利回りを生み出せるという事実を反映しており、そのため20年後に受け取る支払いは、来月受け取る支払いよりも今日の価値としてはるかに小さくなる。
試算例:月$1,000を20年間、割引率5%で割り引くと現在価値は$151,525.31であり、割り引かない場合の$240,000と比べて$88,474.69の時間的価値による割引となる。同じ計算式は逆方向にはローンの数学の基礎ともなっている:貸し手が$151,525を年利5%で20年間貸し出す場合、その返済額はほぼちょうど月$1,000になる。
| 割引率 | 月$1,000を20年間受け取る場合の現在価値 |
|---|---|
| 3% | $180,311 |
| 5% | $151,525 |
| 7% | $128,983 |
払出額:一括資金がどれだけの水準の収入を維持できるか
払出額の計算は、一定の当初元本が、設定された年数にわたって支えられる一定水準の定期支払額を、期間終了時点で残高がちょうどゼロになるように定める──積立計算の逆パターンである。これは期間確定払出しと呼ばれることがあり、年金受給者が生きている限り支払いが続く終身年金商品とは区別される。
試算例:$500,000の元本を年利5%で25年間(300か月)払い出すと、月々$2,922.95──年間払出額$35,075.40──の一定水準の払い出しを維持でき、全期間の払出総額は$876,885.06となる。元の$500,000を上回る超過分は、払出期間中も継続する運用成長を表しており、これが単純な元本÷月数を上回る払い出しを可能にしている理由である。
- 月次払出額 PMT = P × r ÷ [1 − (1 + r)^−n]、P=元本、r=年利÷12、n=年数×12
3つがどう組み合わさるか
将来価値、現在価値、払出額は、同じ年金の数学を異なる方向から捉えた3つの見方である:将来価値は積立を将来の一括資金へと投影し、現在価値は将来の支払いの流れを今日の貨幣価値へと割り引き、そして払出額は既存の一括資金を持続可能な収入の流れへと変換する。3つとも通常型年金(期末払い)と、期間全体を通じた一定の利率を前提としており、税金、手数料、インフレ調整、あるいは市販の終身年金商品に特有の保険会社ごとの死亡率に基づく価格設定はいずれもモデル化していない。
よくある質問
月$500を年利7%で20年間積み立てるといくらに成長するか?
通常型年金の将来価値計算式を用いると、月$500を年利7%で20年間(240か月)積み立てた場合、将来価値は$260,463.33になる──積立分$120,000と成長分$140,463.33の合計である。
月$1,000の支払いの流れの現在価値はいくらか?
割引率と期間によって異なる。月$1,000を20年間、割引率5%で割り引いた現在価値は今日の価値で$151,525.31であり、割り引かない場合の$240,000と比べて$88,474.69の時間的価値による割引となる。
$500,000でどれだけの月収を得られるか?
想定利回りを年利5%として25年間運用する場合、$500,000の元本は月々$2,922.95の一定水準の払い出しを維持でき、期間終了時点で元本はちょうど使い切られる。
通常型年金と期首払い年金の違いは何か?
通常型年金は各期間の終わりに支払いが発生することを前提とし、期首払い年金は各期間の始めに支払いが発生することを前提とする。期首払いの支払いはそれぞれ1期間分余分に運用されるため、将来価値はわずかに高くなり──現在価値も、年利5%の場合で約0.42%程度、同条件の通常型年金よりわずかに高くなる。
この計算は保険会社の終身年金をモデル化しているか?
していない。これらは固定の利回り、元本、期間に基づく期間確定計算である。市販の終身年金には、保険会社固有の手数料、保証、解約控除、死亡率に基づく価格設定が含まれており、これらの計算式はそれらをモデル化していない。
参考文献
- U.S. Securities and Exchange Commission (SEC), Investor.gov — annuities overview and investor bulletins. https://www.investor.gov/
- Financial Industry Regulatory Authority (FINRA) — Annuities: how they work and what to consider. https://www.finra.org/
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2020 — annuity mathematics.