計算式とテストケース
複利は A = P(1 + r/n)^(nt) という式で計算されます。ここでPは元本、rは名目年利率、nは1年あたりの複利計算回数、tは年数です。複利頻度が変わっても変化するのはnだけで、P・r・tは一定に保たれます。これにより、複利頻度そのものがどれだけ結果に寄与しているのかを正確に切り分けることができます。
頻度を公平に比較するため、それ以外の条件はすべて固定します——元本10,000ドル、名目年利率5%、期間10年です。下の表で行ごとに変化するのは、利息が計上される頻度だけです。
比較表
各行は同じ10,000ドルの元本、5%の名目金利、10年の期間を使用しています。「実質年利率」（EAR）の列は、複利の効果を織り込んだ実際の年換算利回りを示しています。
| 複利頻度 | 実質年利率 | 10年後の残高 |
|---|---|---|
| 年複利（n = 1） | 5.0000% | $16,288.95 |
| 半年複利（n = 2） | 5.0625% | $16,386.16 |
| 四半期複利（n = 4） | 5.0945% | $16,436.19 |
| 月複利（n = 12） | 5.1162% | $16,470.09 |
| 日複利（n = 365） | 5.1267% | $16,486.65 |
| 連続複利 | 5.1271% | $16,487.21 |
数字が示すもの：逓減する効果
複利頻度を上げることで得られる利益は、頻度が上がるほど急速に縮小します。年複利から月複利に変えると10年間で181.14ドル増加します。月複利から日複利へさらに変えても、増加分はわずか16.56ドルにとどまり、日複利から数学的な上限である連続複利へ変えても、増加はわずか0.56ドルです。上限（連続複利）は明確に存在し、日複利はすでにその1ドル以内に達しています。
実践的な教訓は、金利と運用期間こそが結果を左右する主な要因だということです。期間を2倍にすること、あるいは金利をわずか0.1ポイント上げることの方が、複利頻度を変えることよりもはるかに大きく結果に影響します。2つの口座を比較する際は、複利頻度そのものではなく、実質年利率（EAR）こそが公平に比較できる指標です。
銀行が名目金利とEARを別々に表示する理由
日複利で5%の名目金利は、5%の単利とは同じではありません——その実質年利率は5.1267%になります。だからこそ規制当局は、貸し手や預金取扱機関に対して実質年利率（または年換算利率）の開示を義務付けています。これにより、複利頻度が異なる2つの商品を、単一の正直な数字で比較できるようになります。同じ名目金利を掲げる2つの口座を見た場合、より頻繁に複利計算される方がわずかに高いEARを持ちますが、その差はわずかです。
よくある質問
日複利は月複利よりもずっと有利ですか？
わずかに有利なだけです。10,000ドルを5%で10年間運用した場合、月複利では16,470.09ドル、日複利では16,486.65ドルとなり、10年間全体での差は16.56ドルです。
複利が生み出せる増加分の上限はどのくらいですか？
連続複利が数学的な上限です。このテストケースでは16,487.21ドルに達し、日複利よりわずか0.56ドル多いだけなので、日複利は事実上すでに上限に達しています。
複利頻度よりも重要なものは何ですか？
名目金利と運用期間の長さは、どちらも複利の頻度よりはるかに大きく最終的な残高に影響します。
複利頻度が異なる2つの口座はどう比較すればよいですか？
名目金利や複利頻度ではなく、実質年利率（EAR）を比較してください。EARは複利効果を1つの年間数値にまとめているため、直接比較できます。
参考文献
- U.S. Securities and Exchange Commission (Investor.gov) — Compound Interest Calculator and definition. https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator
- Consumer Financial Protection Bureau — Annual Percentage Yield (APY) and how compounding is disclosed. https://www.consumerfinance.gov/
- Federal Reserve — Regulation DD (Truth in Savings), disclosure of annual percentage yield. https://www.federalreserve.gov/