Apa yang dinyatakan teorema Pythagoras
Pada setiap segitiga siku-siku -- yaitu segitiga yang memuat tepat satu sudut 90 derajat -- kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa, sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku) sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi lainnya, yang disebut kaki. Dalam bentuk rumus: a^2 + b^2 = c^2, dengan a dan b sebagai kedua kaki dan c sebagai sisi miring. Hubungan ini dinamai menurut matematikawan Yunani kuno Pythagoras, meskipun bukti sejarah menunjukkan bahwa hubungan numerik yang sama sudah dikenal dan dipakai secara mandiri, tanpa bukti formal, oleh matematikawan Babilonia dan bangsa kuno lainnya jauh sebelum masa Pythagoras.
Teorema ini hanya berlaku bagi segitiga siku-siku pada bidang datar (Euclidean). Ia tidak berlaku untuk segitiga tanpa sudut siku-siku -- kasus semacam itu menuntut aturan kosinus yang lebih umum -- dan tidak berlaku persis untuk segitiga yang digambar pada permukaan lengkung seperti bola, karena geometri permukaannya memang berbeda.
Mengapa berlaku: bukti penataan ulang klasik
Salah satu peragaan teorema yang paling terkenal, sering disebut bukti penataan ulang, memakai empat salinan identik dari segitiga siku-siku yang sama (berkaki a dan b serta bersisi miring c) yang disusun di dalam satu persegi besar bersisi (a + b). Disusun dengan cara tertentu, keempat segitiga itu mengelilingi sebuah persegi kecil yang miring dengan sisi c, sehingga luas persegi besar terpecah menjadi empat segitiga ditambah persegi dalam tersebut: (a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2, yang menyederhana menjadi (a + b)^2 = 2ab + c^2.
Bila ruas kiri dijabarkan secara aljabar, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Karena kedua ungkapan menyatakan luas total yang sama, keduanya dapat disamakan: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2. Mengurangkan 2ab dari kedua ruas menyisakan a^2 + b^2 = c^2 -- yaitu teorema Pythagoras, yang diturunkan semata-mata dengan membandingkan dua cara menghitung luas persegi yang sama. Bukti ini hanyalah satu dari ratusan bukti yang telah diterbitkan sepanjang abad; bunga rampai karya Elisha Loomis, The Pythagorean Proposition, mendaftar 367 bukti berbeda.
Tripel Pythagoras: 3-4-5 dan seterusnya
Tripel Pythagoras adalah himpunan tiga bilangan bulat positif a, b, dan c yang memenuhi a^2 + b^2 = c^2 secara persis, artinya ada segitiga siku-siku dengan ketiga panjang sisi bulat itu tanpa pembulatan sama sekali. Tripel terkecil sekaligus paling dikenal adalah 3-4-5, sebab 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
Setiap kelipatan bilangan bulat dari sebuah tripel juga merupakan tripel yang sah -- misalnya, melipatduakan 3-4-5 menghasilkan 6-8-10, dan melipattigakannya menghasilkan 9-12-15, yang keduanya juga memenuhi a^2 + b^2 = c^2. Tripel yang bukan kelipatan dari tripel yang lebih kecil, seperti 3-4-5, 5-12-13, dan 8-15-17 di bawah ini, disebut tripel Pythagoras primitif.
| Kaki a | Kaki b | Sisi miring c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Penerapan nyata: diagonal dan jarak
Karena diagonal persegi panjang bersama dua sisi yang berdampingan membentuk segitiga siku-siku, teorema Pythagoras langsung memberikan panjang diagonalnya: diagonal = akar kuadrat dari (panjang^2 + lebar^2). Persegi panjang berukuran 6 x 8 satuan memiliki diagonal sebesar akar kuadrat dari (6^2 + 8^2) = akar kuadrat dari (36 + 64) = akar kuadrat dari 100 = tepat 10 satuan -- yakni tripel 6-8-10, kelipatan dari 3-4-5.
Prinsip yang sama, diperluas ke tiga dimensi, memberikan diagonal ruang sebuah balok, yang dicari dengan menerapkan teorema itu dua kali: pertama untuk memperoleh diagonal alasnya, lalu memadukan diagonal tersebut dengan tinggi balok. Balok berukuran 12 x 9 x 8 satuan memiliki diagonal ruang sebesar akar kuadrat dari (12^2 + 9^2 + 8^2) = akar kuadrat dari (144 + 81 + 64) = akar kuadrat dari 289 = tepat 17 satuan. Rumus jarak koordinat yang dipakai untuk mencari jarak lurus antara dua titik, d = akar kuadrat dari ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2), tidak lain adalah teorema yang sama yang diterapkan pada selisih mendatar dan selisih tegak antara kedua titik: untuk titik (1,2) dan (4,6), jaraknya adalah akar kuadrat dari (3^2 + 4^2) = akar kuadrat dari 25 = 5.
Kebalikannya: memakai 3-4-5 untuk memeriksa sudut siku-siku
Kebalikan teorema Pythagoras juga benar dan kerap dipakai di lapangan: jika tiga panjang sisi hasil pengukuran memenuhi a^2 + b^2 = c^2, maka segitiga yang dibentuknya pasti memuat sudut siku-siku yang berhadapan dengan sisi terpanjang, sekalipun sudut itu tidak pernah diukur langsung. Kebalikan inilah yang mendasari metode 3-4-5 tradisional dalam konstruksi dan pertukangan untuk memeriksa atau membuat sudut siku (90 derajat): dengan menandai 3 satuan pada satu tepi, 4 satuan pada tepi yang tegak lurus, lalu memastikan jarak antara kedua tanda itu tepat 5 satuan, sudut tersebut terbukti benar-benar siku-siku.
Cara ini berhasil karena kebalikan tersebut menjamin hasil yang tunggal: tiga panjang positif yang memenuhi a^2 + b^2 = c^2 hanya dapat membentuk segitiga siku-siku, tidak pernah lancip maupun tumpul, dengan sudut siku-siku terletak berhadapan dengan sisi terpanjang, c. Setiap kelipatan tripel 3-4-5 -- seperti 6-8-10 atau 9-12-15 -- bekerja persis sama untuk memeriksa sudut pada bidang yang lebih besar.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa rumus teorema Pythagoras?
a^2 + b^2 = c^2, dengan a dan b sebagai kedua kaki segitiga siku-siku dan c sebagai sisi miring, yaitu sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Rumus ini hanya berlaku bagi segitiga siku-siku pada bidang datar.
Bagaimana cara membuktikan teorema Pythagoras?
Salah satu cara klasik, yaitu bukti penataan ulang, menyusun empat segitiga siku-siku identik di dalam persegi bersisi (a + b) sehingga luas totalnya dapat dihitung lewat dua jalan -- sekali sebagai (a + b)^2, sekali lagi sebagai empat segitiga ditambah persegi dalam yang miring seluas c^2. Menyamakan kedua ungkapan luas itu lalu menyederhanakannya secara aljabar menghasilkan a^2 + b^2 = c^2. Ratusan bukti alternatif juga telah diterbitkan, termasuk bunga rampai Elisha Loomis yang mendokumentasikan 367 di antaranya.
Apa itu tripel Pythagoras, dan mana yang terkecil?
Tripel Pythagoras adalah himpunan tiga bilangan bulat positif a, b, dan c yang memenuhi a^2 + b^2 = c^2 secara persis. Tripel terkecil sekaligus paling umum adalah 3-4-5, sebab 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. Tripel umum lainnya mencakup 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, dan 9-40-41.
Bagaimana teorema Pythagoras dipakai untuk mencari diagonal persegi panjang?
Diagonal persegi panjang menjadi sisi miring segitiga siku-siku yang kedua kakinya adalah panjang dan lebar persegi panjang itu, sehingga diagonal = akar kuadrat dari (panjang^2 + lebar^2). Persegi panjang 6 x 8 memiliki diagonal sebesar akar kuadrat dari (36 + 64) = akar kuadrat dari 100 = tepat 10 satuan.
Apakah teorema Pythagoras berlaku pada permukaan lengkung?
Tidak. Teorema ini berlaku persis hanya untuk segitiga siku-siku yang digambar pada bidang datar (Euclidean). Pada permukaan lengkung, seperti permukaan bola, hubungan antara sudut dan panjang sisi diatur oleh geometri non-Euclidean yang berbeda, sehingga a^2 + b^2 = c^2 tidak lagi berlaku persis bagi segitiga bersudut 90 derajat.
Bagaimana tukang bangunan memakai aturan 3-4-5 untuk memeriksa sudut siku-siku?
Menurut kebalikan teorema Pythagoras, bila tiga panjang hasil pengukuran memenuhi a^2 + b^2 = c^2, sudut yang berhadapan dengan panjang terbesar pasti tepat 90 derajat. Dengan menandai 3 satuan pada satu tepi dan 4 satuan pada tepi yang tegak lurus, lalu memastikan jarak antara kedua titik itu tepat 5 satuan, sudut siku-siku pun terbukti sahih -- metode yang lazim dipakai dalam konstruksi dan pertukangan.
Referensi
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).