क्रमगुणित कितनी तेज़ी से बढ़ते हैं, यह समझना
क्रमगुणित की वृद्धि चरघातांकी वृद्धि से भी तेज़ी से आगे निकल जाती है, जैसा नीचे दी गई सटीक और अनुमानित मानों की तालिका में दिखाया गया है।
| n | n! | अनुमानित परिमाण |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 5 | 120 | 1.2 × 10² |
| 10 | 3,628,800 | 3.6 × 10⁶ |
| 15 | 1,307,674,368,000 | 1.3 × 10¹² |
| 18 | 6,402,373,705,728,000 | 6.4 × 10¹⁵ |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 | 2.4 × 10¹⁸ |
- 18! (≈6.40 × 10¹⁵) सुरक्षित-पूर्णांक सीमा से नीचे रहने वाला सबसे बड़ा क्रमगुणित है, क्योंकि JavaScript का Number.MAX_SAFE_INTEGER 2⁵³ − 1 ≈ 9.007 × 10¹⁵ है; इसलिए यह कैलकुलेटर केवल n = 18 तक सटीक मान दिखाता है। उस सीमा से आगे भी क्रमगुणित 22! तक द्वि-परिशुद्धता संख्या के रूप में सटीक रूप से दर्शाए जा सकते हैं, क्योंकि हर क्रमगुणित में 2 के अनेक गुणनखंड होते हैं; 23! पहला ऐसा क्रमगुणित है जो राउंड हो जाता है।
- n = 19 से 170 तक के लिए, केवल वैज्ञानिक-संकेतन सन्निकटन (और ln(n!)) दिखाया जाता है, क्योंकि सटीक पूर्णांक को किसी बड़ी-पूर्णांक लाइब्रेरी के बिना मानक फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित की तुलना में अधिक परिशुद्धता चाहिए होगी।
- n = 170 से आगे, n! मानक द्वि-परिशुद्धता फ्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं द्वारा दर्शाए जा सकने वाले सबसे बड़े मान (लगभग 1.8 × 10³⁰⁸) से आगे निकल जाता है और अनंत तक अतिप्रवाहित हो जाता है, इसलिए यह कैलकुलेटर n को 170 तक सीमित रखता है।
क्रमगुणित क्या है?
किसी अऋणात्मक पूर्णांक n का क्रमगुणित, जिसे n! दर्शाया जाता है, 1 से n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में परिभाषित है: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1। उदाहरण के लिए, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120। परिभाषा के अनुसार, 0! = 1 (एक रिक्त गुणनफल, गुणात्मक तत्समक), जो संयोजिकी (combinatorics) में उपयोग किया जाने वाला मानक परिपाटी है।
क्रमगुणित अत्यंत तेज़ी से बढ़ते हैं — n के चरघातांकी फलनों से भी कहीं अधिक तेज़ी से। 10! = 3,628,800, जबकि 20! ही 2.4 क्विंटिलियन (2.43 × 10¹⁸) से अधिक हो जाता है, जो बिग बैंग के बाद से बीते सेकंडों की संख्या से भी बड़ा है। यह विस्फोटक वृद्धि ही कारण है कि बड़े n के लिए क्रमगुणित सामान्यतः वैज्ञानिक संकेतन में दिखाए जाते हैं, और क्यों एक बिंदु के बाद सटीक पूर्णांक मान दिखाना अव्यावहारिक हो जाता है।
क्रमगुणित संयोजिकी की नींव हैं: ये n अलग-अलग वस्तुओं को क्रम में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या गिनते हैं (क्रमचय), और अक्रमित चयनों (संचय) गिनने के लिए उपयोग किए जाने वाले द्विपद गुणांक सूत्र में हर के रूप में दिखाई देते हैं। ये प्रायिकता सिद्धांत, कलन (टेलर श्रेणी के गुणांक), और कई बंद-रूप संयोजिक सर्वसमिकाओं में भी दिखाई देते हैं।
इस क्रमगुणित कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 0 से 170 के बीच एक पूर्ण संख्या n डालें (170! उस सबसे बड़े क्रमगुणित के निकट है जिसे मानक द्वि-परिशुद्धता फ्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ अनंत तक अतिप्रवाहित हुए बिना दर्शा सकती हैं)।
- वैज्ञानिक संकेतन में परिणाम पढ़ें, जो n के आकार से स्वतंत्र हमेशा दिखाया जाता है।
- n ≤ 18 के लिए, n! का सटीक पूर्णांक मान भी दिखाया जाता है, क्योंकि इससे बड़े क्रमगुणित मानक द्वि-परिशुद्धता अंकगणित में सटीक रूप से दर्शाए जा सकने वाले पूर्णांकों की सीमा (2⁵³ ≈ 9.007 × 10¹⁵) से आगे निकल जाते हैं।
- n! के प्राकृतिक लघुगणक (जो अतिप्रवाह के बिना बहुत बड़े क्रमगुणितों के साथ काम करने के लिए उपयोगी है) और n! के सटीक दशमलव निरूपण में अंतिम शून्यों की संख्या की समीक्षा करें।
क्रमगुणित, अंतिम शून्य और ln(n!) की गणना कैसे होती है
परिभाषित पुनरावर्ती संबंध है n! = n × (n − 1)!, जिसका आधार स्थिति 0! = 1 है। हल किया गया उदाहरण: 5! = 5 × 4! = 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 0! = 120 × 1 = 120।
बड़े n के लिए, प्राकृतिक लघुगणक ln(n!) की गणना योग Σ ln(k), जहाँ k = 2 से n तक हो, से की जाती है, जो कच्चे क्रमगुणित को सीधे गुणा करने से होने वाले अतिप्रवाह से बचाती है। इसके बाद वैज्ञानिक संकेतन इस योग से आधार-10 लघुगणक के माध्यम से निकाला जाता है: log₁₀(n!) = ln(n!) ÷ ln(10), जिसमें पूर्णांक भाग घातांक देता है और भिन्नात्मक भाग (10^x से वापस बदला हुआ) मैंटिसा देता है।
n! में अंतिम शून्यों की संख्या उतनी ही बार के बराबर है जितनी बार 10, n! को पूरी तरह विभाजित करता है, जो — चूँकि 10 = 2 × 5 और क्रमगुणित में 2 के गुणनखंड हमेशा 5 के गुणनखंडों से अधिक होते हैं — लेजेंड्रे के सूत्र से 5 के गुणनखंड गिनने में सिमट जाता है: अंतिम शून्य = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... 10! के लिए हल किया गया उदाहरण: ⌊10/5⌋ = 2, ⌊10/25⌋ = 0, अतः 10! में 2 अंतिम शून्य हैं — जिसकी पुष्टि 10! = 3,628,800 से होती है।
सामान्य गलतियाँ
- यह भूल जाना कि 0! = 1 है, 0 नहीं — यह एक मानक गणितीय परिपाटी है (एक रिक्त गुणनफल 1 के बराबर होता है), जो संयोजिक सूत्रों के अपनी सीमा-स्थितियों में सही ढंग से काम करने के लिए आवश्यक है।
- यह मान लेना कि मानक अंकगणित में मनमाने बड़े n के लिए क्रमगुणित सटीक रूप से गणना किए जा सकते हैं — n = 22 से आगे, सटीक पूर्णांक मान वह सीमा पार कर जाते हैं जिसे द्वि-परिशुद्धता फ्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ बिना राउंडिंग के दर्शा सकती हैं।
- n! (क्रमगुणित) को nⁿ (n की n घात) से गड़बड़ाना — क्रमगुणित घटते हुए पूर्णांकों की श्रृंखला को 1 तक गुणा करता है, जबकि घातांक n को स्वयं से n बार गुणा करता है; दोनों अलग दरों पर बढ़ते हैं और तेज़ी से भिन्न होते जाते हैं (5! = 120 बनाम 5⁵ = 3125)।
- ऋणात्मक संख्या या गैर-पूर्ण संख्या डालना — इस प्राथमिक अर्थ में क्रमगुणित केवल अऋणात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित है (गामा फलन इस अवधारणा को गैर-पूर्णांकों तक विस्तारित करता है, लेकिन वह एक अलग, अधिक उन्नत सूत्र है)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
n क्रमगुणित क्या है?
n क्रमगुणित (n!) 1 से n तक की सभी धनात्मक पूर्ण संख्याओं का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120। परिभाषा के अनुसार, 0! = 1।
0! 1 के बराबर क्यों है?
0! को गणितीय परिपाटी के अनुसार 1 परिभाषित किया गया है, जो एक 'रिक्त गुणनफल' (शून्य गुणनखंडों का गुणनफल) दर्शाता है, जो परिपाटी अनुसार गुणात्मक तत्समक, 1, के बराबर होता है। यह परिभाषा क्रमचय और संचय जैसे संयोजिक सूत्रों को उनकी सीमा-स्थितियों में संगत रखती है — उदाहरण के लिए, शून्य वस्तुओं को व्यवस्थित करने का ठीक 1 तरीका है।
क्रमगुणित कितनी तेज़ी से बढ़ते हैं?
क्रमगुणित n के चरघातांकी फलनों से भी तेज़ी से बढ़ते हैं। 10! लगभग 36 लाख है, लेकिन 20! ही 2.4 × 10¹⁸ (2.4 क्विंटिलियन) से अधिक हो जाता है। यह अति-चरघातांकी वृद्धि दर ही कारण है कि क्रमगुणित मध्यम रूप से बड़े n के लिए भी वैज्ञानिक संकेतन में दिखाए जाते हैं और गणित में अत्यंत तेज़ वृद्धि के उदाहरण के रूप में सामान्यतः उद्धृत किए जाते हैं।
100! में कितने अंतिम शून्य हैं?
लेजेंड्रे के सूत्र (⌊100/5ⁱ⌋ को जोड़कर) का उपयोग करते हुए, 100! में ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24 अंतिम शून्य हैं। अंतिम शून्य गुणनफल में 10 = 2 × 5 के गुणनखंडों से आते हैं, और चूँकि क्रमगुणित में 2 के गुणनखंड हमेशा 5 के गुणनखंडों से अधिक होते हैं, केवल 5 के गुणनखंड गिनने से अंतिम शून्यों की गिनती मिल जाती है।
कोई कैलकुलेटर सटीक रूप से कितना बड़ा क्रमगुणित गणना कर सकता है?
मानक द्वि-परिशुद्धता फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित (जिसका उपयोग JavaScript और अधिकांश कैलकुलेटर करते हैं) में, 18! सुरक्षित-पूर्णांक सीमा से नीचे रहने वाला सबसे बड़ा क्रमगुणित है, क्योंकि 18! ≈ 6.40 × 10¹⁵, सीमा 2⁵³ − 1 ≈ 9.007 × 10¹⁵ से कम है, जबकि 19! इससे अधिक है। उस सीमा के आगे भी क्रमगुणित 22! तक द्वि-परिशुद्धता संख्या के रूप में सटीक रूप से दर्शाए जा सकते हैं, क्योंकि हर क्रमगुणित में 2 के अनेक गुणनखंड होते हैं; 23! पहला ऐसा क्रमगुणित है जो राउंड हो जाता है। बड़े क्रमगुणित सामान्यतः वैज्ञानिक संकेतन में दिखाए जाते हैं।
संदर्भ
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §5.1 Gamma Function: Factorial Function. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Factorials and combinatorics.)
- Graham RL, Knuth DE, Patashnik O. Concrete Mathematics. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994. (Legendre's formula for factors in n!.)