❗ Calculateur de factorielle

Comprendre la vitesse de croissance des factorielles

La croissance factorielle distance très vite la croissance exponentielle, comme le montre le tableau de valeurs exactes et approchées ci-dessous.

• 18! (≈ 6,40 × 10¹⁵) est la plus grande factorielle inférieure à la limite des entiers sûrs, puisque la constante Number.MAX_SAFE_INTEGER de JavaScript vaut 2⁵³ − 1 ≈ 9,007 × 10¹⁵ ; ce calculateur n'affiche donc de valeur exacte que jusqu'à n = 18. Au-delà de cette limite, les factorielles restent exactement représentables en double précision jusqu'à 22!, car chacune contient de nombreux facteurs deux, et 23! est la première à être arrondie.
• De n = 19 à n = 170, seules l'approximation en notation scientifique et la valeur de ln(n!) sont affichées, l'entier exact exigeant une précision supérieure à celle de l'arithmétique flottante standard, sauf à recourir à une bibliothèque de grands entiers.
• Au-delà de n = 170, n! dépasse la plus grande valeur représentable en double précision (environ 1,8 × 10³⁰⁸) et déborde vers l'infini ; le calculateur plafonne donc n à 170.

Qu'est-ce qu'une factorielle ?

La factorielle d'un entier naturel n, notée n!, se définit comme le produit de tous les entiers positifs de 1 à n : n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1. Ainsi, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Par convention, 0! = 1 : c'est un produit vide, égal à l'élément neutre de la multiplication, convention universellement retenue en combinatoire.

Les factorielles croissent à une vitesse vertigineuse, bien supérieure à celle des fonctions exponentielles de n. 10! vaut 3 628 800, tandis que 20! dépasse déjà 2,43 × 10¹⁸, soit davantage que le nombre de secondes écoulées depuis le Big Bang. C'est cette croissance explosive qui impose la notation scientifique dès que n grandit et qui rend l'affichage des valeurs entières exactes rapidement impraticable.

Les factorielles fondent la combinatoire : elles comptent le nombre de façons d'ordonner n objets distincts (les permutations) et apparaissent au dénominateur du coefficient binomial, qui dénombre les sélections non ordonnées (les combinaisons). On les retrouve aussi en probabilités, en analyse (coefficients des séries de Taylor) et dans quantité d'identités combinatoires closes.

Comment utiliser ce calculateur de factorielle

1. Saisissez un entier n compris entre 0 et 170 : 170! avoisine la plus grande factorielle que les nombres à virgule flottante en double précision peuvent représenter avant de déborder vers l'infini.
2. Lisez le résultat en notation scientifique, toujours affiché quelle que soit la taille de n.
3. Pour n ≤ 18, la valeur entière exacte de n! s'affiche également, les factorielles supérieures dépassant la plage des entiers exactement représentables en double précision standard (2⁵³ ≈ 9,007 × 10¹⁵).
4. Consultez enfin le logarithme népérien de n!, utile pour manipuler de très grandes factorielles sans débordement, ainsi que le nombre de zéros finaux de l'écriture décimale exacte de n!.

Comment se calculent n!, ses zéros finaux et ln(n!)

La relation récursive de définition est n! = n × (n − 1)!, avec le cas de base 0! = 1. Exemple traité : 5! = 5 × 4! = 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 0! = 120 × 1 = 120.

Pour de grandes valeurs de n, le logarithme népérien ln(n!) se calcule comme la somme Σ ln(k) pour k allant de 2 à n, ce qui évite le débordement qu'entraînerait la multiplication directe de la factorielle brute. La notation scientifique s'en déduit par le logarithme décimal : log₁₀(n!) = ln(n!) ÷ ln(10), la partie entière fournissant l'exposant et la partie fractionnaire, reconvertie par 10^x, fournissant la mantisse.

Le nombre de zéros finaux de n! correspond au nombre de fois où 10 divise n! exactement. Puisque 10 = 2 × 5 et que les facteurs 2 sont toujours plus nombreux que les facteurs 5 dans une factorielle, tout revient à compter les facteurs 5 par la formule de Legendre : zéros finaux = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... Exemple traité pour 10! : ⌊10/5⌋ = 2 et ⌊10/25⌋ = 0, donc 10! se termine par 2 zéros — ce que confirme 10! = 3 628 800.

Erreurs fréquentes

• Oublier que 0! = 1 et non 0 : cette convention mathématique — un produit vide vaut 1 — est indispensable pour que les formules combinatoires restent correctes dans leurs cas limites.
• Croire qu'on peut calculer exactement la factorielle d'un n arbitrairement grand en arithmétique standard : au-delà de n = 22, la valeur entière exacte excède ce que la double précision peut représenter sans arrondi.
• Confondre n! (factorielle) et nⁿ (n à la puissance n) : la factorielle multiplie une suite décroissante d'entiers jusqu'à 1, tandis que la puissance multiplie n par lui-même n fois ; les deux croissent à des rythmes distincts et divergent vite (5! = 120 contre 5⁵ = 3 125).
• Saisir un nombre négatif ou non entier : en ce sens élémentaire, la factorielle n'est définie que sur les entiers naturels ; la fonction Gamma en étend la notion aux non-entiers, mais il s'agit d'une formule distincte et plus avancée.

Questions fréquentes

Références

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §5.1 Gamma Function: Factorial Function. dlmf.nist.gov.
2. Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Factorials and combinatorics.)
3. Graham RL, Knuth DE, Patashnik O. Concrete Mathematics. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994. (Legendre's formula for factors in n!.)