Comprendre la conversion
Les décimaux finis les plus courants correspondent à des fractions simples qu'il vaut la peine de mémoriser. Le tableau ci-dessous recense les équivalences les plus utilisées.
| Décimal | Fraction | Pourcentage |
|---|---|---|
| 0,5 | 1/2 | 50 % |
| 0,25 | 1/4 | 25 % |
| 0,75 | 3/4 | 75 % |
| 0,2 | 1/5 | 20 % |
| 0,125 | 1/8 | 12,5 % |
| 0,625 | 5/8 | 62,5 % |
| 0,0625 | 1/16 | 6,25 % |
- Un décimal est fini précisément lorsque sa fraction irréductible a un dénominateur dont les seuls facteurs premiers sont 2 et 5. C'est pourquoi 1/3, 1/6 et 1/7 produisent des décimaux périodiques.
- Les décimaux périodiques ne peuvent pas être saisis exactement : 0,333333 se convertit en 333333/1000000, et non en 1/3. Pour ces nombres, utilisez la méthode algébrique (posez x = 0,333..., alors 10x - x = 3, donc x = 1/3).
- Ce calculateur accepte jusqu'à neuf décimales ; au-delà, la représentation en virgule flottante limite l'exactitude de la conversion.
Qu'est-ce que la conversion d'un décimal en fraction ?
Un décimal fini est un nombre dont les chiffres s'arrêtent après un nombre limité de décimales, comme 0,625 ou 0,32. Tout décimal fini peut s'écrire exactement sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de dix : les chiffres après la virgule forment le numérateur, et le dénominateur vaut 10 élevé au nombre de décimales. Puisque 0,625 comporte trois décimales, il équivaut à 625/1000.
La fraction obtenue est ensuite réduite à sa forme irréductible en divisant numérateur et dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Pour 625/1000, le PGCD vaut 125, ce qui donne 5/8. Une fraction d'entiers s'appelle un nombre rationnel, et tout décimal fini est rationnel.
Les décimaux périodiques comme 0,333... (qui vaut exactement 1/3) représentent eux aussi des nombres rationnels, mais ils exigent une méthode algébrique différente et ne peuvent pas être saisis exactement sous forme de décimal fini. Saisir 0,333333 convertit précisément ce décimal à six chiffres (333333/1000000), et non 1/3. Ce calculateur traite les décimaux finis comportant jusqu'à neuf décimales.
Comment utiliser ce calculateur décimal vers fraction
- Saisissez la valeur décimale à convertir, par exemple 0,625 ou 2,5. Les décimaux négatifs sont acceptés.
- Lisez la fraction simplifiée. Pour une saisie négative, le signe est porté par le numérateur.
- Lisez l'équivalent en pourcentage, c'est-à-dire le décimal multiplié par 100.
- Pour vérifier à la main, écrivez les chiffres situés après la virgule sur la puissance de dix correspondante, puis divisez les deux par leur plus grand commun diviseur.
La méthode de conversion par valeur de position
Comptez les chiffres situés après la virgule (appelons ce nombre k). Multipliez le décimal par 10^k pour obtenir un numérateur entier, et prenez 10^k comme dénominateur. Divisez ensuite les deux par leur plus grand commun diviseur pour atteindre la forme irréductible.
Exemple chiffré : 0,625. Ce nombre compte k = 3 décimales, donc 0,625 = 625/1000. Le PGCD de 625 et 1000 vaut 125. En divisant : 625/125 = 5 et 1000/125 = 8, d'où 0,625 = 5/8. En pourcentage, 0,625 x 100 = 62,5 %.
Deuxième exemple : 0,32 = 32/100. Le PGCD de 32 et 100 vaut 4, donc 0,32 = 8/25 = 32 %.
Les décimaux supérieurs à 1 se convertissent de la même façon : 2,5 = 25/10 = 5/2, qui peut aussi s'écrire sous forme de nombre mixte, soit 2 1/2.
Erreurs fréquentes
- Attendre que 0,33 ou 0,333333 se convertisse en 1/3 — seul le décimal périodique infini 0,333... vaut 1/3 ; toute saisie finie donne une autre fraction, exacte elle aussi.
- Se tromper de puissance de dix : 0,625 vaut 625/1000 (trois décimales), et non 625/100.
- Oublier de simplifier : 625/1000 et 5/8 sont égaux, mais l'usage veut que la réponse soit donnée sous forme irréductible.
- Perdre le signe des décimaux négatifs — le signe négatif revient au numérateur de la fraction obtenue.
Questions fréquentes
Comment convertir un décimal en fraction ?
Écrivez les chiffres situés après la virgule au numérateur, sur 10 élevé au nombre de décimales, puis simplifiez par le plus grand commun diviseur. Par exemple, 0,625 = 625/1000 ; le PGCD de 625 et 1000 vaut 125, donc 0,625 = 5/8.
Que vaut 0,625 sous forme de fraction ?
0,625 vaut 5/8. Voici la conversion : 0,625 comporte trois décimales, donc il équivaut à 625/1000. En divisant numérateur et dénominateur par leur plus grand commun diviseur, 125, on obtient 5/8. En pourcentage, 0,625 correspond à 62,5 %.
Tout décimal peut-il s'écrire sous forme de fraction ?
Tout décimal fini et tout décimal périodique peut s'écrire exactement comme une fraction d'entiers : ce sont les nombres rationnels. En revanche, les nombres irrationnels comme pi (3,14159...) ou la racine carrée de 2 ont un développement décimal qui n'est ni fini ni périodique, et ne peuvent s'écrire exactement sous forme d'aucune fraction d'entiers.
Comment convertir un décimal périodique comme 0,333... en fraction ?
Utilisez l'algèbre plutôt que la valeur de position. Posez x = 0,333... ; en multipliant par 10, on obtient 10x = 3,333... ; en soustrayant la première équation de la seconde, il vient 9x = 3, donc x = 3/9 = 1/3. Une saisie finie telle que 0,333333 est un nombre différent, qui se convertit en 333333/1000000.
Comment convertir un décimal supérieur à 1 ?
La même méthode de valeur de position s'applique. Par exemple, 2,5 = 25/10 = 5/2 après division par le PGCD, qui vaut 5. La fraction impropre 5/2 peut aussi s'écrire sous forme de nombre mixte, soit 2 1/2 ; les deux écritures représentent la même valeur.
Références
- Weisstein, Eric W. "Decimal Expansion." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Rational Number." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Niven I. Numbers: Rational and Irrational. Mathematical Association of America, 1961.