Qué establece el teorema de Pitágoras
En cualquier triángulo rectángulo -- un triángulo que contiene exactamente un ángulo de 90 grados -- el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, llamados catetos. Escrito como fórmula: a^2 + b^2 = c^2, donde a y b son los dos catetos y c es la hipotenusa. La relación lleva el nombre del matemático griego antiguo Pitágoras, aunque hay evidencia de que la misma relación numérica ya era conocida y utilizada, de forma independiente a cualquier demostración formal, por matemáticos babilonios y de otras civilizaciones antiguas mucho antes de Pitágoras.
El teorema se aplica únicamente a triángulos rectángulos en un plano euclidiano (plano). No se cumple para triángulos que carecen de un ángulo recto -- esos requieren en su lugar la ley de cosenos, más general -- y tampoco se cumple exactamente para triángulos dibujados sobre una superficie curva, como una esfera, donde la geometría misma es distinta.
Por qué funciona: una demostración clásica por reordenamiento
Una de las demostraciones más conocidas del teorema, a menudo llamada la demostración por reordenamiento, usa cuatro copias idénticas del mismo triángulo rectángulo (con catetos a y b e hipotenusa c) dispuestas dentro de un único cuadrado grande con lados de longitud (a + b). Dispuestas de una manera, los cuatro triángulos rodean un cuadrado interior más pequeño e inclinado con lados de longitud c, de modo que el área del cuadrado grande se divide en los cuatro triángulos más ese cuadrado interior: (a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2, que se simplifica a (a + b)^2 = 2ab + c^2.
Al expandir algebraicamente el lado izquierdo, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Igualando las dos expresiones para la misma área total: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2. Restando 2ab de ambos lados queda a^2 + b^2 = c^2 -- el teorema de Pitágoras, derivado únicamente al comparar dos formas de calcular el área del mismo cuadrado. Esta demostración en particular es una entre cientos publicadas a lo largo de los siglos; el compendio de Elisha Loomis, The Pythagorean Proposition, cataloga 367 demostraciones distintas del teorema.
Ternas pitagóricas: 3-4-5 y más allá
Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos a, b y c que satisfacen exactamente a^2 + b^2 = c^2, lo que significa que existe un triángulo rectángulo con esas tres longitudes de lado enteras sin necesidad de redondeo. La terna más pequeña y más reconocida es 3-4-5, ya que 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
Cualquier múltiplo entero de una terna conocida es también una terna válida -- por ejemplo, duplicar 3-4-5 da 6-8-10, y triplicarla da 9-12-15, ambas también satisfacen a^2 + b^2 = c^2. Las ternas que no son múltiplos de una terna menor, como 3-4-5, 5-12-13 y 8-15-17 a continuación, se llaman ternas pitagóricas primitivas.
| Cateto a | Cateto b | Hipotenusa c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Usos reales: diagonales y distancias
Dado que la diagonal de un rectángulo, junto con dos lados adyacentes, forma un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras da la longitud de la diagonal directamente: diagonal = la raíz cuadrada de (largo^2 + ancho^2). Un rectángulo de 6 por 8 unidades tiene una diagonal de la raíz cuadrada de (6^2 + 8^2) = la raíz cuadrada de (36 + 64) = la raíz cuadrada de 100 = exactamente 10 unidades -- la terna 6-8-10, un múltiplo de 3-4-5.
El mismo principio, extendido a tres dimensiones, da la diagonal espacial de una caja rectangular, que se halla aplicando el teorema dos veces: primero para hallar la diagonal del rectángulo de la base, y luego combinando esa diagonal con la altura de la caja. Una caja de 12 por 9 por 8 unidades tiene una diagonal espacial de la raíz cuadrada de (12^2 + 9^2 + 8^2) = la raíz cuadrada de (144 + 81 + 64) = la raíz cuadrada de 289 = exactamente 17 unidades. La fórmula de distancia en coordenadas, usada para hallar la distancia en línea recta entre dos puntos, d = la raíz cuadrada de ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2), es el mismo teorema aplicado directamente a las diferencias horizontal y vertical entre dos puntos: para los puntos (1,2) y (4,6), la distancia es la raíz cuadrada de (3^2 + 4^2) = la raíz cuadrada de 25 = 5.
El recíproco: usar 3-4-5 para comprobar un ángulo recto
El recíproco del teorema de Pitágoras también es cierto y se usa con frecuencia en la práctica: si tres longitudes de lado medidas satisfacen a^2 + b^2 = c^2, entonces el triángulo que forman debe contener un ángulo recto opuesto al lado más largo, incluso si ese ángulo nunca se midió directamente. Este recíproco es la base del método tradicional 3-4-5 usado en construcción y carpintería para comprobar o fijar una esquina cuadrada (de 90 grados): medir 3 unidades a lo largo de un borde, 4 unidades a lo largo del borde perpendicular, y confirmar que la diagonal entre esos dos puntos marcados es exactamente 5 unidades confirma que la esquina es un verdadero ángulo recto.
Esto funciona porque el recíproco garantiza un resultado único: tres longitudes positivas que satisfacen a^2 + b^2 = c^2 solo pueden formar un triángulo rectángulo, nunca uno acutángulo u obtusángulo, con el ángulo recto ubicado opuesto al lado más largo, c. Cualquier múltiplo de la terna 3-4-5 -- como 6-8-10 o 9-12-15 -- funciona igual para comprobar esquinas más grandes.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del teorema de Pitágoras?
a^2 + b^2 = c^2, donde a y b son los dos catetos de un triángulo rectángulo y c es la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto. Se aplica únicamente a triángulos rectángulos en un plano euclidiano.
¿Cómo se demuestra el teorema de Pitágoras?
Un método clásico, la demostración por reordenamiento, dispone cuatro triángulos rectángulos idénticos dentro de un cuadrado con lados (a + b), de modo que el área total puede calcularse de dos formas distintas -- una vez como (a + b)^2, y otra vez como los cuatro triángulos más un cuadrado interior inclinado de área c^2. Igualando estas dos expresiones de área y simplificando algebraicamente se obtiene a^2 + b^2 = c^2. También se han publicado cientos de demostraciones alternativas, incluido el compendio de Elisha Loomis, que documenta 367 de ellas.
¿Qué es una terna pitagórica, y cuál es la más pequeña?
Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos a, b y c que satisfacen exactamente a^2 + b^2 = c^2. La terna más pequeña y más común es 3-4-5, ya que 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. Otras ternas comunes incluyen 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 y 9-40-41.
¿Cómo se usa el teorema de Pitágoras para hallar la diagonal de un rectángulo?
La diagonal de un rectángulo forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el largo y el ancho del rectángulo, por lo que diagonal = la raíz cuadrada de (largo^2 + ancho^2). Un rectángulo de 6 por 8 tiene una diagonal de la raíz cuadrada de (36 + 64) = la raíz cuadrada de 100 = exactamente 10 unidades.
¿El teorema de Pitágoras funciona en superficies curvas?
No. El teorema se cumple exactamente solo para triángulos rectángulos dibujados en un plano euclidiano (plano). En una superficie curva, como la superficie de una esfera, las relaciones entre ángulos y longitudes de lado están gobernadas por una geometría distinta, no euclidiana, y a^2 + b^2 = c^2 ya no se cumple exactamente para un triángulo con un ángulo de 90 grados.
¿Cómo usan los constructores la regla 3-4-5 para comprobar un ángulo recto?
Según el recíproco del teorema de Pitágoras, si tres longitudes medidas satisfacen a^2 + b^2 = c^2, el ángulo opuesto a la longitud más larga debe ser exactamente 90 grados. Marcar 3 unidades a lo largo de un borde y 4 unidades a lo largo de un borde perpendicular, y luego confirmar que la distancia entre esos dos puntos es exactamente 5 unidades, verifica una esquina en verdadero ángulo recto -- un método usado comúnmente en construcción y carpintería.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).