各象限的符号与标准单位圆角度
正弦、余弦和正切在四个象限中分别有固定的正负号规律，并在下面这些标准参考角处取精确值。
| 象限 | 角度范围 | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 第一象限 | 0°–90° | 正 | 正 | 正 |
| 第二象限 | 90°–180° | 正 | 负 | 负 |
| 第三象限 | 180°–270° | 负 | 负 | 正 |
| 第四象限 | 270°–360° | 负 | 正 | 负 |
- 参考角始终是终边与 x 轴之间的锐角（0°–90°）；结合所在象限的正负号规律，可以由标准的 0°/30°/45°/60°/90° 取值，求出任意角度的精确三角函数值。
- 正切在 90° 和 270°（以及与它们终边相同的角）处无定义，因为余弦在这些角度处等于零。
- 大于 360° 的角或负角，会先化简为 [0°, 360°) 范围内的终边相同角，然后才确定其所在象限和参考角。
什么是单位圆？
单位圆是以坐标平面原点为圆心、半径为 1 的圆。对于从正 x 轴逆时针测量的任意角 θ，其终边与圆的交点坐标为 (cos θ, sin θ)——这使得单位圆成为所有三角函数在视觉和计算上的基础。
由于圆的半径恰好为 1，正弦和余弦的值可以直接读作坐标，不需要任何缩放。本计算器还给出终边相同角（介于 0° 到 360° 之间的等价角）、终边所在的象限，以及参考角（到最近 x 轴的锐角），三者结合起来解释了三角函数值的正负号和大小。
如何使用本单位圆计算器
- 输入角度值。
- 选择角度单位：度或弧度。
- 查看该角度的正弦、余弦和正切，以及它所在的象限、参考角，和终边相同角（在单圈 0°–360° 范围内的等价角）。
单位圆公式
由于单位圆的半径为 1，圆上一点的 (x, y) 坐标与 (cos θ, sin θ) 完全相同——不像一般的圆那样还需要按半径进行缩放。
常见错误
- 输入的是度数，但角度单位仍停留在弧度（或反过来），这会得到一个看似合理、实则错误的结果。
- 以为对第一象限之外的角，参考角就等于输入角本身——参考角始终是从最近的 x 轴量起的，而不是从 0° 量起的。
- 以为 90° 或 270° 处的正切会有一个具体数值——由于余弦在这些角度处为零，正切在这里是无定义的。
- 忘记负角和超过 360° 的角，都等价于单圈（0°–360°）范围内的某个终边相同角。
常见问题
225 度的 sin 和 cos 是多少？
在 225° 时，sin(225°) = cos(225°) = −0.707107（都等于 −√2/2）。这是因为 225° 位于第三象限，参考角为 45°（225° − 180°），而正弦和余弦在第三象限都是负的。
225 度在哪个象限？
225° 位于第三象限（180°–270°），在这个象限中正弦和余弦都是负的，正切是正的。它的参考角为 225° − 180° = 45°。
什么是参考角？
参考角是某个角的终边与 x 轴之间形成的锐角，始终介于 0° 和 90° 之间。对于 225° 的角，参考角是 45°，因为 225° 比 180° 多出 45°。
什么是终边相同角？
终边相同角是指化简到 0°–360°（即一整圈）范围后，与原角终边重合的角。585° 的终边相同角是 585° − 360° = 225°，因为两者都指向圆上同一个位置。
为什么单位圆上 tan(90°) 无定义？
正切等于 sin θ / cos θ，而在 90° 时单位圆上的点是 (0, 1)，也就是说 cos(90°) = 0。除以零没有定义，所以正切在 90°（以及余弦同样为零的 270°）处没有值。
30°、45°、60° 处 sin 和 cos 的精确值是多少？
sin(30°) = 0.5，cos(30°) ≈ 0.866025；sin(45°) = cos(45°) ≈ 0.707107；sin(60°) ≈ 0.866025，cos(60°) = 0.5。这些是最常被记住的单位圆数值，都位于第一象限。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).