什么时候该用正弦定理
正弦定理可以直接用于两种三角形求解情形；其他情形则需要改用余弦定理。
| 已知条件 | 最适合的方法 |
|---|---|
| 两角加任意一边（AAS 或 ASA） | 正弦定理——无歧义，唯一解 |
| 两边加非夹角（SSA） | 正弦定理，但需检查是否属于有歧义情形（可能有 0、1 或 2 个三角形） |
| 三边（SSS） | 余弦定理 |
| 两边加夹角（SAS） | 余弦定理 |
- 本计算器的 AAS/ASA 输入模式（两角一边）始终恰好有一个有效解，因此这里不会出现 SSA 的歧义情形。
- 任意三角形的三个角之和必须恰好等于 180°；如果输入的两个角之和已经达到或超过 180°，就不存在有效的三角形，此时计算器不会给出结果。
什么是正弦定理？
正弦定理指出，在任意三角形中，一条边的长度与其对角正弦值之比，在三条边上都保持不变：a / sin A = b / sin B = c / sin C。这使得只要已知足够的信息，就能求出缺失的边或角。
已知两个角以及其中一个角的对边（也就是这里用到的 AAS 或 ASA 情形），三角形就能被完全且唯一地确定——这与 SSA（两边及非夹角）情形不同，后者有时会得到两个有效的三角形、一个有效的三角形，或者根本无解，这被称为「有歧义情形」。
如何使用本正弦定理计算器
- 输入角 A，以及角 A 的对边——边 a 的长度。
- 输入角 B，即第二个已知角。
- 计算器要求角 A 与角 B 之和小于 180°，因为第三个角（C）必须是正数。
- 查看由正弦定理推导出的边 b、角 C、边 c 和三角形面积。
正弦定理公式
先由角度之和（180° − A − B）求出角 C，再套用正弦定理的比值 a / sin A，求出剩下的两条边。
常见错误
- 把边 a 当作角 B 的对边输入，而不是角 A 的对边——正弦定理要求每条边都严格与它的对角配对。
- 输入的两个角之和达到或超过 180°，导致没有空间留给有效的第三个角。
- 把正弦定理（边与对角正弦值之比）和余弦定理（用于 SAS 和 SSS 情形）混淆。
- 忘记角度必须以度为单位输入，而不是弧度。
常见问题
正弦定理的公式是什么？
a / sin A = b / sin B = c / sin C，其中每条边都与它正对着的那个角的正弦值配对。
如何用正弦定理求缺失的边？
用已知的边和角建立比例式，再求解缺失的边：b = (a × sin B) / sin A。对于 A = 30°、a = 10、B = 45°，边 b = (10 × sin 45°) / sin 30° = (10 × 0.707107) / 0.5 ≈ 14.1421。
如果 A = 30°、B = 45°，第三个角是多少？
由于三角形三个角之和为 180°，角 C = 180° − 30° − 45° = 105°。
正弦定理中的「有歧义情形」是什么？
有歧义（SSA）情形出现在已知两边及一个非夹角时——根据具体数值的不同，可能有零个、一个或两个不同的三角形都满足给定的条件。这种情形不会出现在本计算器的 AAS 输入模式中，该模式始终恰好只有一个解。
如何用正弦定理求三角形的面积？
一旦知道两条边及其夹角，面积 = ½ × 边₁ × 边₂ × sin(夹角)。对于 a = 10、b ≈ 14.1421、夹角 C = 105°，面积 = ½ × 10 × 14.1421 × sin(105°) ≈ 68.3013 平方单位。
什么时候该用正弦定理而不是余弦定理？
已知两个角和任意一边（AAS/ASA），或两边及一个非夹角（SSA）时，用正弦定理。已知三边（SSS），或两边及夹角（SAS）时，用余弦定理，因为正弦定理无法直接求解这些情形。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).