单位圆上的坐标:(cos theta, sin theta)
单位圆是半径恰好为1、圆心位于坐标平面原点(0,0)的圆。对于从正x轴开始、沿逆时针方向测量的任意角theta,从原点沿该角度画一条线并找到它与圆的交点,得到的点的x坐标恰好等于cos(theta),y坐标恰好等于sin(theta)——无需任何缩放,因为圆的半径为1。
这正是每一个三角恒等式背后的几何定义:余弦按定义就是单位圆上给定角度处的x坐标,正弦就是y坐标。正切则直接由二者之比得出:tan(theta) = sin(theta) / cos(theta),几何上表示从原点到圆上该点连线的斜率。
象限符号:正弦和余弦在何处为正或为负
坐标平面被x轴和y轴分成四个象限,由于正弦和余弦本质上就是单位圆上一点的y坐标和x坐标,它们在每个象限中的符号直接取决于该象限中坐标的符号。
这一规律有时用助记口诀「All Students Take Calculus(所有学生都学微积分)」来记忆,指的是沿逆时针方向从第一象限开始,各函数在每个象限中为正的情况:第一象限三个函数都为正,第二象限只有正弦(Sine)为正,第三象限只有正切(Tangent)为正,第四象限只有余弦(Cosine)为正。
| 象限 | 角度范围 | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | 正 | 正 | 正 |
| II | 90°-180° | 正 | 负 | 负 |
| III | 180°-270° | 负 | 负 | 正 |
| IV | 270°-360° | 负 | 正 | 负 |
参考角:求第一象限之外的精确值
参考角是指某个角的终边与最近的x轴之间形成的锐角,其值始终介于0到90度之间。借助参考角,可以先把任意角关联回五个标准第一象限角之一,再对该角所在象限应用正确的符号,从而求出任意角的精确正弦、余弦或正切值。
例如,150度角位于第二象限,其参考角为180 - 150 = 30度。由于正弦在第二象限为正,sin(150度)等于正的sin(30度) = 0.5。余弦在第二象限为负,因此cos(150度)等于负的cos(30度),约为-0.8660。参考角给出数值大小,象限给出符号。
0/30/45/60/90度标准数值表
0、30、45、60和90度这五个角——都位于第一象限——的正弦和余弦值都可以表示为精确数,而不是冗长的小数,它们是通过参考角求出其他所有标准角精确三角函数值的基础。下表列出了每个角的精确形式和小数近似值。
请注意其中的对称性:0到90度的正弦值(0、1/2、sqrt(2)/2、sqrt(3)/2、1)恰好是余弦值的逆序排列,这是正弦和余弦互为余函数的直接结果——对任意角theta,都有sin(theta) = cos(90度 - theta)。
| 角度 | sin theta(精确值) | sin theta(小数) | cos theta(精确值) | cos theta(小数) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0.5 | sqrt(3)/2 | 0.8660 |
| 45° | sqrt(2)/2 | 0.7071 | sqrt(2)/2 | 0.7071 |
| 60° | sqrt(3)/2 | 0.8660 | 1/2 | 0.5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
共终边角,以及超过一整圈的情形
大于360度的角,或负角,仍然对应单位圆上的某个特定点——它们只是围绕圆多绕了一圈或几圈。共终边角是指落在单个0到360度范围内的等效角,通过加上或减去360度的整数倍,直到结果落入该范围而求得。
例如,405度角的共终边角为405 - 360 = 45度,这意味着这两个角都指向单位圆上完全相同的位置,因此拥有相同的正弦、余弦和正切值。同样,-30度角的共终边角为-30 + 360 = 330度,落在第四象限。
常见问题
单位圆上给定角度对应的点的坐标是什么?
对于从正x轴沿逆时针方向测量的任意角theta,单位圆上对应的点坐标恰好为(cos theta, sin theta)——x坐标始终是该角的余弦值,y坐标始终是该角的正弦值,由于圆的半径为1,不需要任何额外缩放。
sin(60度)的精确值是多少?
sin(60度)等于3的平方根除以2,这是一个精确值,约等于0.8660。它的余函数cos(60度)恰好等于1/2 = 0.5,这与sin(60度) = cos(90度 - 60度) = cos(30度)一致。
如何求参考角?
参考角是某个角的终边与最近x轴之间的锐角。在第二象限,用180度减去该角;在第三象限,用该角减去180度;在第四象限,用360度减去该角。对于150度(第二象限),参考角为180 - 150 = 30度。
为什么余弦在第二象限为负?
因为余弦等于单位圆上一点的x坐标,而第二象限(90到180度之间)的每一点都具有负的x坐标,位于y轴左侧。正弦在该象限仍为正,因为第二象限的点仍具有正的y坐标。
什么是共终边角?
共终边角是指经过增减整数个360度整圈之后,落在单位圆同一点上的角。405度角的共终边角为405 - 360 = 45度,因为两者描述的是圆上同一个位置,因此拥有完全相同的正弦、余弦和正切值。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).