常见角度的取值
下表列出了最常用角度精确到小数点后六位、经过核实的正弦、余弦和正切值。
| 角度 | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0.5 | 0.866025 | 0.577350 |
| 45° | 0.707107 | 0.707107 | 1 |
| 60° | 0.866025 | 0.5 | 1.732051 |
| 90° | 1 | 0 | 无定义 |
- 正切在 90°（以及每个 90° + 180°k）处无定义，因为此处余弦等于零，使得 sin/cos 这一比值没有定义。
- 把度和弧度这一单位设置弄混，是三角函数计算中最常见的错误——同样数值 30，在度（30°）和弧度（约 1719°）下代表的角度差异巨大。
- 对反正弦或反余弦而言，输入超出 [−1, 1] 范围的值在数学上是没有定义的，因为没有任何实数角的正弦或余弦会超出这个范围。
什么是三角函数？
正弦、余弦和正切把直角三角形的角度与其边长之比联系起来：正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边（等价地，也就是 sin θ / cos θ）。它们的反函数——反正弦、反余弦、反正切——则以一个比值作为输入，返回对应的角度。
对正弦和余弦而言，这两个函数互为余函数：sin(θ) = cos(90° − θ)。本计算器会在 sin、cos、asin、acos 的主结果旁一并显示对应的余函数值，并在正切旁显示余切值，方便一眼看出相关函数之间的联系。
如何使用本三角函数计算器
- 选择函数：sin、cos、tan，或它们的反函数 sin⁻¹、cos⁻¹、tan⁻¹。
- 选择角度单位：度或弧度。这一设置既适用于正向函数的角度输入，也适用于反函数返回的角度。
- 输入数值——对 sin/cos/tan 输入角度，对反函数输入比值。
- 查看结果，以及在适用时显示的相关余函数值。
三角比公式
反函数 asin 和 acos 要求输入值介于 −1 到 1 之间（含端点），因为正弦和余弦的取值永远不会超出这个范围。
常见错误
- 计算器停留在错误的角度单位模式（度还是弧度），这会得到一个完全不同——但数值上看起来仍然合理——的结果。
- 为反正弦或反余弦输入了一个角度，而不是介于 −1 到 1 之间的比值。
- 以为 tan(90°) 会返回一个很大的数字，而不是「无定义」——从数学上看，正切函数在这一点存在竖直渐近线。
- 把某个函数和它的反函数弄混，例如本来要用 cos⁻¹ 却用了 sin。
常见问题
sin(30°) 是多少？
sin(30°) 恰好等于 0.5。它的余函数 cos(30°) 等于 √3/2 ≈ 0.866025，这与 sin(30°) = cos(90° − 30°) = cos(60°) 相符。
cos(45°) 是多少？
cos(45°) = √2/2 ≈ 0.707107，恰好等于 sin(45°)，因为 45° 是它自己的余角（90° − 45° = 45°）。
为什么 tan(90°) 无定义？
正切等于正弦除以余弦，而 cos(90°) = 0。除以零没有定义，所以 tan(90°) 没有有限的值——正切函数在 90° 以及此后每隔 180° 的位置都存在竖直渐近线。
sin 和 sin⁻¹ 有什么区别？
sin(θ) 以角度为输入，返回一个介于 −1 到 1 之间的比值。sin⁻¹(x)，即反正弦，则反过来：以一个介于 −1 到 1 之间的比值为输入，返回对应的角度。
如何在度和弧度之间换算？
把度数乘以 π/180 得到弧度，或把弧度乘以 180/π 得到度数。例如，60° × π/180 ≈ 1.0472 弧度。
arcsin(0.5) 是多少？
arcsin(0.5) = 30°（即 π/6 弧度），因为 sin(30°) = 0.5。计算器同时也会显示对应的余函数角 arccos(0.5) = 60°，因为 30° + 60° = 90°。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Trigonometric Functions." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).