余弦定理与勾股定理的对比
下表展示了随着夹角变化，余弦定理的结果如何变化，并以 90° 时的勾股定理作为特殊情形。
| 角 C | cos C | 对 c² 的影响 |
|---|---|---|
| 90°（直角） | 0 | c² = a² + b²（正好是勾股定理） |
| < 90°（锐角） | 正数 | c² < a² + b²（c 比直角情形下更短） |
| > 90°（钝角） | 负数 | c² > a² + b²（c 比直角情形下更长） |
- 余弦定理适用于任意三角形，而不仅仅是直角三角形——它是一般情形，勾股定理只是它在 90° 时的特殊情形。
- 角 C 必须严格介于 0° 和 180° 之间；在这两个边界值处，三个点会共线，不存在三角形。
什么是余弦定理？
余弦定理把三角形的三条边与其中一个角的余弦值联系起来：c² = a² + b² − 2ab·cos C。它是勾股定理的推广——当角 C 恰好是 90° 时，cos C = 0，公式就化简为我们熟悉的勾股关系 c² = a² + b²。
已知两条边及它们之间的夹角（也就是这里用到的 SAS 情形），余弦定理可以直接求出第三条边；把同一个公式变形后，还能求出另外两个角。
如何使用本余弦定理计算器
- 输入边 a 和边 b，这两条已知边。
- 输入角 C，即边 a 与边 b 之间的夹角，严格介于 0° 和 180° 之间。
- 查看边 c（缺失的边）、角 A、角 B，以及三角形的面积。
余弦定理公式
把同一个基本关系式变形，就可以求出某条边；一旦三条边都已知，也可以求出某个角。
常见错误
- 输入的角实际上并不是边 a 和边 b 之间的夹角——SAS 情形下余弦定理要求的是夹角。
- 在 c² = a² + b² − 2ab·cos C 中漏掉了减号，当角是锐角、cos C 为正数时尤其容易漏掉。
- 在只知道两个角和一条边时用余弦定理求缺失的边——这种情形应该改用正弦定理。
- 输入的角 C 用的是弧度，而不是要求的度数。
常见问题
余弦定理的公式是什么？
c² = a² + b² − 2ab·cos C，其中 C 是边 a 和边 b 之间的夹角，c 是角 C 的对边。
如何用余弦定理求缺失的边？
套用公式后再开平方根：c = √(a² + b² − 2ab·cos C)。对于 a = 5、b = 7、C = 49°，c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28.076 ≈ 5.2987。
如何用余弦定理求角？
把公式变形求出余弦值，再取反余弦：A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc))。对于 a = 5、b = 7、c ≈ 5.2987，角 A ≈ 45.4117°。
余弦定理和勾股定理有什么关系？
当夹角 C 恰好等于 90° 时，cos C = 0，余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos C 正好化简为勾股定理 c² = a² + b²。
什么时候该用余弦定理而不是正弦定理？
已知三边（SSS），或两边及夹角（SAS）时，用余弦定理——这些情形正弦定理无法直接求解。已知两角一边，或两边及一个非夹角时，用正弦定理。
两边为 5、7，夹角为 49° 的三角形面积是多少？
面积 = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0.5 × 35 × 0.754710 ≈ 13.2074 平方单位。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).