常见角度下的弧、弦与扇形
下表展示了半径为 10 的圆在几个常见圆心角下，弧长与弦长的对比情况。
| 圆心角 | 弧长（r=10） | 弦长（r=10） |
|---|---|---|
| 30° | 5.2360 | 5.1764 |
| 60° | 10.4720 | 10.0000 |
| 90° | 15.7080 | 14.1421 |
| 180° | 31.4159 | 20.0000 |
| 360° | 62.8319（完整圆周长） | 0（起点与终点重合） |
- 在 360° 时，弧长等于完整的圆周长（2πr），而弦长为零，因为起点和终点重合。
- 对同样的角度，弧长始终大于或等于弦长，因为直线是两点之间最短的路径，而弧是在两点之间弯曲延伸的。
- 弓形面积只在角度严格介于 0° 和 360° 之间时才有意义；恰好为 0° 时，扇形面积和弓形面积都为零。
什么是弧长、弦长和扇形面积？
弧是圆周上一段弯曲的部分，由两条半径和一个圆心角所界定。弧长就是沿着这段曲线的距离。弦是连接弧的两个端点的直线段——除非角度极小，否则弦总是比弧本身短。
扇形是由弧和两条半径所围成的、形似披萨切片的区域；弓形则是由弧和弦所围成的较小区域（也就是扇形减去由两条半径和弦构成的三角形）。这四个量都可以直接由半径和圆心角计算得出。
如何使用本弧长计算器
- 输入圆的半径。
- 输入以度为单位的圆心角，范围在 0° 到 360° 之间。
- 查看弧长、弦长、扇形面积和弓形面积，这些结果会即时更新。
弧长与扇形面积背后的公式
所有公式都要求圆心角以弧度表示（θ = 角度（度）× π / 180）；计算器会自动把你输入的角度换算为弧度。
常见错误
- 在计算器要求以度为单位时，却输入了弧度制的角度。
- 把弧长（曲线距离）和弦长（直线距离）混淆——只有当角度趋近于零时，两者才会相等。
- 把扇形面积（由两条半径和弧围成）和弓形面积（由弦和弧围成）混淆——弓形面积总是更小的那个。
- 使用超过 360° 的角度，这样不对应单个圆上一个明确定义的扇形。
常见问题
如何计算弧长？
弧长等于半径乘以以弧度表示的圆心角：s = rθ。半径为 10、角度为 60°（θ = π/3 弧度）时，弧长为 10 × π/3 ≈ 10.4720 单位。
弧长和弦长有什么区别？
弧长是沿圆的曲线边缘、在两点之间的距离；弦长是这同样两点之间的直线距离。半径为 10、角度为 60° 时，弧长约为 10.4720，而弦长恰好为 10（因为弦长 = 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10）。
如何求扇形的面积？
扇形面积等于半径的平方乘以以弧度表示的圆心角，再取一半：A = ½r²θ。半径为 10、角度为 60° 时，扇形面积为 ½ × 100 × (π/3) ≈ 52.3599 平方单位。
圆的弓形是什么？
弓形是弦和它所截出的弧之间的区域——即扇形面积减去由两条半径和弦构成的三角形面积。半径为 10、角度为 60° 时，弓形面积为 ½ × 100 × (π/3 − sin 60°) ≈ 9.0586 平方单位。
在这些公式中，如何把角度换算为弧度？
把以度表示的角度乘以 π/180。例如，60° × π/180 = π/3 弧度 ≈ 1.0472 弧度。
整个圆的弧长是多少？
当圆心角为 360°（2π 弧度）时，弧长等于完整的圆周长 2πr。半径为 10 时，即 2π × 10 ≈ 62.8319 单位。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Circular Arc", "Circular Sector" and "Circular Segment." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).