如何选对公式：顺序与重复
根据两个相互独立的是非问题——顺序是否有影响、是否允许重复——共对应四种不同的计数公式。
| 顺序有影响吗？ | 允许重复吗？ | 公式 | 示例场景 |
|---|---|---|---|
| 有 | 不允许 | nPr = n! ÷ (n − r)! | 在 7 名跑步选手中评出第一、第二、第三名 |
| 有 | 允许 | nʳ | 用数字 0–6 组成 3 位密码，允许重复 |
| 没有 | 不允许 | nCr = n! ÷ (r!(n−r)!) | 从 7 个人中选出一个 3 人委员会 |
| 没有 | 允许 | C(n+r−1, r) | 从 7 种冰淇淋口味中选 3 球，允许重复口味 |
- 对同样的 n 和 r，nCr 总是小于或等于 nPr（具体地说，nCr = nPr ÷ r!），因为组合把每组同样物体的 r! 种排列方式都合并计为一种。
- 按照约定，当 r = 0 时，nPr 和 nCr 都等于 1——选取零个物体（空选取）恰好只有一种方式。
- 当 r = n（不重复）时，nPr = n! 而 nCr = 1——把全部 n 个物体当作一个无序集合来「选取」只有一种方式，但把它们全部按顺序排列则有 n! 种方式。
什么是排列和组合？
排列是顺序有影响的一种排布方式。从 n 个不同物体的集合中不重复地取出 r 个物体进行排列的方式数，记作 nPr，统计的是诸如「第一名、第二名、第三名」这样的排布：交换两个已选物体的位置会得到不同的结果。
组合是顺序没有影响的一种选取方式。从 n 个不同物体中不重复地选出 r 个的方式数，记作 nCr（也叫「n 选 r」或二项式系数），统计的是诸如委员会成员或一手扑克牌这样的分组：同样一组物体，只是顺序不同，仍算作同一个结果。
区分二者的关键问题是：把同样选中的物体重新排列一次，会不会得到不同的结果？如果会（例如颁发金牌、银牌、铜牌，或把书排在书架上），就用排列；如果不会（例如选出一个 3 人委员会，或抓一手扑克牌），就用组合。本计算器还给出了「允许重复」的版本，适用于同一物体可以被多次选中的情形（例如为密码选取数字，或允许重复口味的多球冰淇淋）。
如何使用本排列组合计算器
- 输入 n——可供选择的不同物体总数。
- 输入 r——要选取或排列的物体数量。r 必须小于或等于 n：若 r 大于 n，计算器不会给出任何结果，允许重复的结果也不例外。
- 如果选取的顺序有影响且不允许重复，查看排列数（nPr）；如果顺序没有影响且不允许重复，查看组合数（nCr）。
- 对于允许同一物体被多次选中的情形，改用「可重复」结果，而不是标准的 nPr／nCr 值。
排列与组合公式
从 n 个物体中不重复地取 r 个的排列数为 nPr = n! ÷ (n − r)!，等价于从 n 开始连续 r 个递减整数的乘积。举例说明，取 n = 7、r = 3：7P3 = 7 × 6 × 5 = 210——这是在 7 名参赛者中评出各不相同的第一、第二、第三名的方式数。
从 n 个物体中不重复地选 r 个的组合数为 nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!。这是把每组已选物体的 r! 种排列方式除掉，因为组合不区分顺序。举例说明，取 n = 7、r = 3：7C3 = 210 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35——这是从 7 个人中能组成的不同 3 人委员会的数目。
允许重复的排列（r 个位置中每个位置都可以独立地是 n 个物体中的任意一个）就是 nʳ。取 n = 7、r = 3：7³ = 343——例如，用数字 0–6 且允许重复所能组成的不同 3 位密码数目。允许重复的组合使用「隔板法」公式 C(n + r − 1, r)。取 n = 7、r = 3：C(9, 3) = 84——例如，从 7 种口味的冰淇淋中选出 3 球、允许口味重复且顺序无关时的选取方式数。
常见错误
- 在顺序实际上没有影响时使用排列公式（或反过来）——选公式之前，应先检查交换两个已选物体的位置是否会改变结果。
- 忘记检查是否允许重复——「设置密码」（数字可以重复）与「从一副牌中发牌」（不允许重复，牌发出后不会放回）需要不同的公式。
- 在不允许重复的情况下，用 r 大于 n 的值套用 nPr 或 nCr——这是没有意义的，因为如果不重复使用同一物体，就无法从集合中选出比它本身还多的不同物体。
- 把「可重复的组合」（隔板法公式）和普通的 nCr 混淆——二者结果相差很大，适用于不同的场景（是否允许重复）。
常见问题
排列和组合有什么区别？
排列统计的是顺序有影响的排布方式（nPr = n! ÷ (n−r)!）——例如评出第一、第二、第三名。组合统计的是顺序没有影响的选取方式（nCr = n! ÷ (r!(n−r)!)）——例如选出一个委员会。取 n = 7、r = 3：7P3 = 210（有序），而 7C3 = 35（无序），因为每组 3 人都可以按 3! = 6 种不同顺序排列，210 ÷ 6 = 35。
如何计算 nCr（n 选 r）？
使用公式 nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)。取 n = 7、r = 3：7C3 = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ (6 × 24) = 5040 ÷ 144 = 35。等价地，也可以先算出 nPr（7 × 6 × 5 = 210），再除以 r!（3! = 6）：210 ÷ 6 = 35。
如何计算 nPr？
使用公式 nPr = n! ÷ (n − r)!，这可以化简为从 n 开始连续 r 个递减整数的乘积。取 n = 7、r = 3：7P3 = 7 × 6 × 5 = 210。
排列组合问题中，什么时候应该允许重复？
当同一物体在一个结果中可以被多次选中时，就应该允许重复——例如密码中的数字，或顾客可以为多个球选择同一种口味的冰淇淋。当每个物体只能使用一次时，就不应该允许重复——例如发出各不相同的扑克牌，或把不同的人分配到不同的职位。
当 r 等于 n 时，nPr 是多少？
当 r = n（不重复地排列全部 n 个物体）时，nPr 化简为 n! ÷ (n − n)! = n! ÷ 0! = n! ÷ 1 = n!。这表示把全部 n 个不同物体排成一排的总方式数——例如，5 个物体一共可以有 5! = 120 种排列方式。
可重复组合中的「隔板法」是什么意思？
「隔板法」是计算允许重复的组合数的标准组合技巧，得到公式 C(n + r − 1, r)。其做法是把选出的 r 个物体表示为「星」，用「隔板」标出 n 个类别之间的边界，然后统计星和隔板的排列方式数。取 n = 7、r = 3：C(9, 3) = 84。
参考文献
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Permutations, combinations, and the stars-and-bars method.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26.1–26.3 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd ed. Wiley, 1968. (Classic treatment of permutations and combinations.)