如何理解数根与整除 9 的关系
一个数的数根揭示了它除以 9 所得的余数，这为判断能否被 3 和 9 整除提供了一种快速的心算方法。
| 数根 | 与整除性的关系 |
|---|---|
| 9 | 该数能被 9 整除（因而也能被 3 整除） |
| 3 或 6 | 该数能被 3 整除，但不能被 9 整除 |
| 1、2、4、5、7 或 8 | 该数不能被 3 整除 |
| 0 | 只有 0 本身的数根是 0 |
- 数根公式以及作为「舍九法」算术核对手段的用法，其历史早于现代计算机，曾被记账员和学生用来手工发现抄写和加法中的错误。
- 数根不应与数字和混淆：9875 的数字和是 29（只经过一轮求和），而它的数根是 2（经过反复求和后完全化简得到的一位数字）。
- 本计算器把输入当作非负整数处理；小数或负数的数字需要先经过重新解释，才能套用这一定义。
什么是数根？
一个整数的数根是这样求出的：把它所有的数字相加，如果结果不止一位，就再把这个结果的各位数字相加——如此反复，直到只剩下一位数字（0 到 9）为止。例如，求 9875 的数根：先求 9+8+7+5=29，再求 2+9=11，再求 1+1=2，最终数根为 2。
这种反复求和的方法有时被称为「舍九法」，历史上曾被用来手工核对算术运算：因为一个数的数根在数学上等价于该数对 9 取模的结果（用 9 代替 0），所以如果两个数相加、相减或相乘后，结果的数根与按数根运算规则预期得到的数根不一致，就说明计算过程中某处出现了错误。
数根还有一些趣味和教学用途——它出现在数字命理学中（不过这类用法除了算术本身之外并没有数学意义），也可用于简单的整除性判断（一个数能被 9 整除，当且仅当它的数根是 9），并且是向学生介绍模运算和数论的一种易于理解的入门方式。
如何使用本数根计算器
- 输入一个非负整数。
- 计算器会把它所有的数字相加，得到最初的数字和。
- 如果这个和不止一位数字，计算器会重复数字求和的过程，并记录每一步中间结果。
- 查看最终只剩一位数字的数根，以及完整的化简步骤序列和反复化简之前的最初数字和。
数根公式及其与 mod 9 的关系
直接方法是反复对数字求和：对于 n = 9875，先求各位数字之和 9+8+7+5 = 29；因为 29 不止一位数字，再求一次 2+9 = 11；因为 11 仍不止一位数字，再求一次 1+1 = 2。数根为 2，经过三步化简得到：9875 → 29 → 11 → 2。
还有一个基于模运算、无需反复迭代的直接捷径公式：对于 n > 0，n 的数根等于 1 + ((n − 1) mod 9)。举例说明：对于 n = 9875，(9875 − 1) mod 9 = 9874 mod 9 = 1（因为 9874 = 1097×9 + 1），所以数根为 1 + 1 = 2——与逐步计算的结果完全一致。这个公式之所以成立，是因为把一个数的各位数字相加并不会改变它对 9 取模的余数（因为 10 ≡ 1 mod 9，10 的每个幂次也都 ≡ 1 mod 9）。
作为特殊情形，0 的数根被定义为 0，而任意 9 的正倍数的数根都是 9 本身（而不是 0），因为公式中的「+1」这一步把余数 0 映射为数根 9，而不是 0。
常见错误
- 只做了一轮数字求和就停下——数根要求反复求和直到只剩一位数字，而不是只算出第一次的数字和。
- 把「数字和」（一轮求和）和「数根」（反复求和直到一位数字）混为一谈——这两者相关但并不相同，只有数根才保证是一位数字。
- 以为 9 的倍数的数根是 0——任意 9 的正倍数（如 18、27、81）的数根都是 9，而不是 0；只有 0 本身的数根才是 0。
- 在没有先做转换的情况下，把这种方法用于负数或小数——经典的数根定义只适用于非负整数。
常见问题
如何求一个数的数根？
把该数所有的数字相加，如果结果不止一位数字，就再把结果的数字相加——如此反复，直到只剩一位数字。以 9875 为例：9+8+7+5=29，再 2+9=11，再 1+1=2。9875 的数根是 2。
数根有什么捷径公式？
对任意正整数 n，数根等于 1 + ((n − 1) mod 9)，无需反复求和。以 n = 9875 为例：(9875 − 1) mod 9 = 9874 mod 9 = 1，所以数根为 1 + 1 = 2，与逐步计算的方法结果一致。
为什么数根与 mod 9 有关？
因为 10 除以 9 余 1（10 = 1×9 + 1），所以 10 的每一个幂次对 9 取模也都余 1。由于任意整数都可以写成各位数字乘以 10 的相应幂次之和，直接把各位数字相加（忽略它们的位值）就能保持该数对 9 取模的余数不变。反复进行这一求和过程，最终会收敛到同一个余数，并以一位数字的形式表示出来（用 9 代替 0）。
数根如何用来核对算术运算（舍九法）？
舍九法通过比较数根来核对计算：对于加法，和的数根应该等于各加数数根之和的数根；对于乘法，积的数根应该等于各因数数根之积的数根。如果按这一规则算出的数根对不上，说明某处出现了算术错误——不过数根一致并不能保证答案完全正确，因为有些错误（例如数字位置颠倒）用这种方法是查不出来的。
9 的倍数的数根是多少？
任意 9 的正倍数的数根始终是 9 本身，而不是 0。例如，18 → 1+8=9，81 → 8+1=9，999 → 9+9+9=27 → 2+7=9。这是捷径公式 1 + ((n−1) mod 9) 的直接结果：当 n 是 9 的倍数时，(n−1) mod 9 = 8，所以数根为 1+8=9。
参考文献
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (Congruences and casting out nines.)
- Ore O. Number Theory and Its History. McGraw-Hill, 1948 (Dover reprint, 1988). (Historical treatment of digit sums and divisibility checks.)
- Weisstein EW. 'Digital Root' and 'Casting Out Nines.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.