如何一起理解最大公约数与最小公倍数
最大公约数和最小公倍数是一对相关问题的两个极端：最大公约数求的是最大的公共因数，而最小公倍数求的是最小的公共倍数。
| 数值 | 最大公约数 | 最小公倍数 | 典型用途 |
|---|---|---|---|
| 12、18、24 | 6 | 72 | 把分数 12/18 化简为 2/3；求公分母 |
| 4、6 | 2 | 12 | 求长度为 4 和 6 的两个循环下一次重合的时刻 |
| 7、13 | 1（互质） | 91 | 除 1 外没有公共因数的数，其最小公倍数等于它们的乘积 |
- 当两个数除 1 外没有其他公共因数时，称它们互质（或称互素）；它们的最大公约数为 1，最小公倍数等于这两个数的乘积。
- 把分子和分母同时除以它们的最大公约数，就能把分数化简为最简形式；求加减不同分母的分数所需的最小公分母，则要用到最小公倍数。
- 本计算器把所有输入的数都当作正整数处理；小数或负数输入在计算前会先转换为其绝对值并四舍五入为对应的整数。
什么是最大公约数与最小公倍数？
一组整数的最大公约数（GCF）是能整除其中每一个数、且不留余数的最大整数。例如，12、18 和 24 的最大公约数是 6，因为 6 能整除这三个数（12÷6=2，18÷6=3，24÷6=4），而没有比 6 更大的数能做到这一点。GCF 也常被称为最大公因数（GCD）。
一组整数的最小公倍数（LCM）是能被其中每一个数整除的最小正整数。12、18 和 24 的最小公倍数是 72，因为 72 是能同时被这三个数整除的最小的数（72÷12=6，72÷18=4，72÷24=3）。
最大公约数和最小公倍数常常被一起使用：最大公约数可以把分数化简为最简形式，也能求出不同数量能划分成的最大等份组数；最小公倍数则用来为加法或比较分数找出公分母，也能确定周期不同的重复事件（例如两个周期不同的循环）下一次重合的时刻。
如何使用本最大公约数与最小公倍数计算器
- 输入两个或多个正整数，用分号分隔（例如 12; 18; 24）。
- 计算器使用欧几里得算法，对你输入的所有数两两求最大公约数。
- 最小公倍数由最大公约数通过恒等式 LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b) 计算得到，并对整个列表逐对推广。
- 查看最大公约数、最小公倍数，以及（当最大公约数大于等于 2 时）它的质因数分解。
欧几里得算法与 GCF、LCM 之间的关系
最大公约数使用欧几里得算法计算，这是数学史上最古老的算法之一（记载于约公元前 300 年欧几里得的《几何原本》第七卷）。该算法不断用较大数除以较小数所得的余数，去替换两数中较大的那个，直到余数为 0——最后一个非零的余数就是最大公约数。举例说明：求 GCF(12, 18)：18 = 1×12 + 6，接着 12 = 2×6 + 0，所以 GCF(12, 18) = 6。再求 GCF(6, 24)：24 = 4×6 + 0，所以 GCF(6, 24) = 6，由此得到 GCF(12, 18, 24) = 6。
对于两个以上的数，最大公约数是通过反复应用两数算法求得的：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)。
两个数的最小公倍数与它们的最大公约数直接相关，通过恒等式 LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b) 联系起来——这是因为两个数的乘积始终等于它们最大公约数与最小公倍数的乘积。举例说明：LCM(12, 18) = (12 × 18) ÷ GCF(12, 18) = 216 ÷ 6 = 36。推广到第三个数：LCM(36, 24) = (36 × 24) ÷ GCF(36, 24) = 864 ÷ 12 = 72，由此得到 LCM(12, 18, 24) = 72。
常见错误
- 把最大公约数和最小公倍数弄混——最大公约数总是小于或等于所输入的最小的那个数，而最小公倍数总是大于或等于所输入的最大的那个数。
- 误以为 LCM(a, b) = a × b 总是成立——这个捷径只在 a 和 b 互质（GCF = 1）时才成立；否则 LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b)。
- 只输入一个数就想求最大公约数或最小公倍数——这两个概念都需要至少比较两个数，因为单独一个数与自身的「最大公约数」和「最小公倍数」不过就是它本身，没有实际意义。
- 忘记最大公约数和最小公倍数是针对正整数定义的，而不是针对分数或小数——非整数的输入必须先经过解释或转换，才能套用这些公式。
常见问题
如何求几个数的最大公约数（GCF）？
最有效的方法是欧几里得算法：不断用较大数除以较小数所得的余数，去替换较大数，直到余数为 0——最后一个非零余数就是最大公约数。以 12 和 18 为例：18 mod 12 = 6，接着 12 mod 6 = 0，所以 GCF(12, 18) = 6。
如何求几个数的最小公倍数（LCM）？
先求出最大公约数，再套用 LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b)。以 12 和 18 为例：GCF = 6，所以 LCM = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36。对于两个以上的数，可以两两套用该公式，把当前求得的最小公倍数与每个新数依次结合。
最大公约数和最小公倍数之间是什么关系？
对任意两个正整数 a 和 b，它们最大公约数与最小公倍数的乘积，始终等于这两个数本身的乘积：GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b。正是这一恒等式，使得已知最大公约数后可以快速算出最小公倍数，而不必逐一列出倍数。
两个数互质是什么意思？
如果两个数唯一的公共正因数是 1，那么它们就是互质的（也称互素）——此时它们的最大公约数为 1。互质的数本身不一定是质数；例如 8 和 9 互质（GCF = 1），但它们都不是质数。两个数互质时，它们的最小公倍数就等于它们的乘积。
最大公约数如何用于化简分数？
把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，就能把分数化简为最简形式。以 12/18 为例，12 和 18 的最大公约数是 6，所以 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3，由于 GCF(2, 3) = 1，这已经无法再进一步化简。
参考文献
- Euclid. Elements, Book VII, Propositions 1–2 (the Euclidean algorithm), c. 300 BCE. Translated edition: Heath TL. Euclid's Elements. Dover, 1956.
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (GCD, LCM and the Euclidean algorithm.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §27.1 Number Theory: Multiplicative Number Theory. dlmf.nist.gov.