如何理解两种符号约定
当两个数都是正数时，两种约定得到的结果完全相同；但只要涉及负数，二者就会出现分歧，如下表所示。
| a | b | 向下取整结果（符号与 b 一致） | 截断结果（符号与 a 一致） |
|---|---|---|---|
| 13 | 5 | 3 | 3（相同——两数都为正） |
| −13 | 5 | 2 | −3 |
| 13 | −5 | −2 | 3 |
| −13 | −5 | −3 | −3（相同——两数都为负） |
- 向下取整取模（本计算器默认作为主要结果展示）是纯数学与数论中最常见的约定，与 Python 内置的 % 运算符一致。
- 截断取模（作为次要结果展示）与 JavaScript、C、C++、Java 以及大多数 C 系语言内置的 % 运算符一致，其余数符号跟随被除数。
- 对零取模没有定义，本计算器不会计算这种情形；除数必须是非零的数。
什么是取模运算？
取模运算，写作 a mod b（或 a % b），求的是 a 除以 b 之后所剩的余数。例如，13 mod 5 = 3，因为 13 = 2 × 5 + 3——13 除以 5 得商 2，余 3。取模是数论（模运算、时钟运算）、计算机科学（哈希、循环索引、校验和）以及日常生活中处理余数与周期问题（例如星期几或钟表时刻）的基础运算。
在涉及负数时，定义结果符号的数学约定主要有两种被广泛使用：向下取整取模，结果的符号总是与除数 b 一致；截断取模，结果的符号总是与被除数 a 一致。这两种定义在数学上都是有效的「余数」定义，当 a 和 b 都为正数时结果完全一致，只有涉及负数时才会出现分歧。
在实践中，这种约定的选择很重要，因为不同编程语言的默认实现各不相同：Python 的 % 运算符使用向下取整取模，而 JavaScript、C、C++、Java 以及大多数 C 系语言使用截断取模（与被除数符号一致）。本计算器把两种结果都明确列出，方便直接读取所需的约定。
如何使用本取模计算器
- 输入被除数（a）——被除的那个数。
- 输入除数（b）——用来除的那个数。除数不能为 0，因为除以零（以及对零取模）没有定义。
- 查看向下取整约定的结果（符号总是与除数一致）——这是数论中最常见的数学约定。
- 如果需要匹配某种编程语言内置 % 运算符的行为，可与截断约定的结果（符号总是与被除数一致）进行比较，并查看商和完整的除法等式以了解详细过程。
向下取整与截断两种取模公式
向下取整取模把商定义为 q = ⌊a ÷ b⌋（向下取整，即向负无穷方向舍入），然后 r = a − b×q。这保证了余数 r 的符号总是与除数 b 一致（或为 0），并且当 b > 0 时满足 0 ≤ r < |b|。举例说明：13 mod 5：q = ⌊13/5⌋ = 2，r = 13 − 5×2 = 3。
被除数为负数的例子：−13 mod 5（向下取整）：q = ⌊−13/5⌋ = ⌊−2.6⌋ = −3，r = −13 − 5×(−3) = −13 + 15 = 2。注意结果是正数（与正的除数一致），这与下面的截断结果不同。
截断取模把商定义为向零方向舍入，而不是向负无穷方向舍入，之后按同样方式计算余数；这保证了余数的符号总是与被除数 a 一致（或为 0）。举例说明：−13 mod 5（截断，即 JavaScript／C／Java 中 % 的结果）：商把 −2.6 向零方向舍入为 −2，所以 r = −13 − 5×(−2) = −13 + 10 = −3——结果为负数，与负的被除数一致，这与同样输入下向下取整得到的 +2 不同。
常见错误
- 以为所有编程语言在处理负数时计算 a mod b 的方式都相同——JavaScript、C、C++ 和 Java 使用截断取模，而 Python 和许多数学教材使用向下取整取模，只要 a 为负，两者结果就会不同。
- 忘记向下取整的结果符号总是与除数一致，而不是与被除数一致——这与截断（JavaScript 风格）约定得到的结果恰好相反。
- 尝试计算 a mod 0——取模运算和除法一样，在除数为零时没有定义。
- 输入非整数并期望得到整数式的模运算结果——本计算器接受实数输入，并应用同样的向下取整／截断逻辑，但许多经典的模运算性质（例如时钟运算）是专门针对整数定义的。
常见问题
向下取整取模和截断取模有什么区别？
向下取整取模把商向负无穷方向舍入，因此余数总是与除数符号一致。截断取模把商向零方向舍入，因此余数总是与被除数符号一致。两数都为正时二者结果相同，只要有一个为负就会不同——例如，−13 mod 5 在向下取整约定下是 2，在截断约定下是 −3。
为什么 −13 mod 5 在不同计算器里得到的结果不一样？
这取决于使用的是哪种符号约定。向下取整取模给出 2（结果符号与正的除数一致，且满足 0 ≤ r < 5）。截断取模给出 −3（结果符号与负的被除数一致）。Python 的 % 运算符返回 2（向下取整）；JavaScript、C、Java 的 % 运算符返回 −3（截断）。两者并非谁「更正确」——它们只是两种不同但同样合理的数学定义。
如何手工计算 a mod b？
用 a 除以 b 得到商，按你选定的约定对商取整（向下取整用向下舍入，截断取模用向零舍入），再用 a 减去 b 乘以这个取整后的商：余数 = a − b × 商。以 13 mod 5 为例：13 ÷ 5 = 2.6，无论哪种约定商都取整为 2，所以余数 = 13 − 5×2 = 3。
模运算和时钟运算中的「mod」是什么意思？
模运算把数值看作在达到模数后「循环归零」——最经典的例子就是 12 小时制的钟表，时间是按 mod 12（24 小时制则按 mod 24）计算的。例如，24 小时制中的 15 点对应 12 小时制表盘上的 15 mod 12 = 3 点。取模正是产生这种「循环」余数的运算。
可以对负数除数取模吗？
可以。在向下取整约定下，a mod b（b 为负）得到的余数符号与 b 一致——例如 13 mod −5 = −2，因为 13 = (−3)×(−5) + (−2)。在截断约定下，余数则与被除数符号一致：截断约定下 13 mod −5 = 3，因为商向零方向舍入为 −2，得到 13 − (−5)×(−2) = 13 − 10 = 3。
参考文献
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (Division algorithm and modular arithmetic.)
- Leijen D. Division and Modulus for Computer Scientists. Utrecht University Technical Report UU-CS-2001-20, 2001. (Formal comparison of flooring, truncating and Euclidean division conventions.)
- ECMA International. ECMA-262: ECMAScript Language Specification — the remainder operator (%). ecma-international.org.