三角形的分类与三角不等式
三角形既可以按边长分类，也可以按最大角分类；下表汇总了这两种分类方式。
| 分类依据 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| 按边分类 | 等边三角形 | 三条边都相等；每个角都是 60° |
| 按边分类 | 等腰三角形 | 恰好有两条边相等 |
| 按边分类 | 不等边三角形 | 三条边长度各不相同 |
| 按角分类 | 锐角三角形 | 三个角都小于 90° |
| 按角分类 | 直角三角形 | 有一个角恰好是 90° |
| 按角分类 | 钝角三角形 | 有一个角大于 90° |
- 三角不等式定理要求任意两边之和大于第三边（a + b > c，a + c > b，b + c > a）；不满足这一条件的三条边无法构成三角形，此时计算器不会给出结果。
- 在「两边加夹角」模式下，输入的角 C 必须严格介于 0° 和 180° 之间，因为 0° 或 180° 会让三角形退化成一条直线。
- 任意三角形的三个内角之和永远恰好等于 180°，计算器在推算第三个角时会用这一点作为校验。
本三角形计算器能求解什么？
任意三角形都由三个独立的测量值完全确定，最常见的是三条边（SSS）、两条边及它们之间的夹角（SAS），或者——对直角三角形而言——两条互相垂直的直角边。由这三者中的任意一组，都可以用标准三角恒等式推导出其余的边、角、面积和周长。
本计算器支持这三种输入模式。在「三边」模式下，求解前会先验证三角不等式（每条边都必须短于另外两条边之和），因为不满足这一条件的三条边无法构成三角形。
如何使用本三角形计算器
- 选择已知条件的模式：三边、两边加夹角，或直角三角形的两条直角边。
- 在「三边」模式下，输入边 a、边 b 和边 c。
- 在「两边加夹角」模式下，输入边 a、边 b 及它们之间的夹角 C（0°–180°，不含端点）。
- 在「直角三角形」模式下，把两条直角边分别输入为边 a 和边 b；斜边会自动推算出来。
- 查看面积、周长、缺失的边（如适用）以及全部三个内角，这些结果会即时更新。
三角形求解背后的公式
海伦公式可以直接由三角形的三条边长求出面积，不需要知道任何角度。余弦定理既能在 SAS 模式下推导出缺失的边，也能从三条已知边长求出全部三个角。
常见错误
- 输入了违反三角不等式的三条边长（例如 2、3 和 10），这样无法构成有效的三角形。
- 在 SAS 模式下，输入的角实际上并不是两条已知边之间的夹角——余弦定理要求的是夹角。
- 在使用「直角三角形」模式时，把直角边和斜边搞混——边 a 和边 b 必须是两条互相垂直的直角边，而不是斜边。
- 在读取角度结果时把度和弧度混淆——计算器给出的角度结果始终以度为单位。
常见问题
已知三边如何求三角形的面积？
使用海伦公式：A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s 是半周长 (a+b+c)/2。对于边长为 13、14、15 的三角形，s = 21，A = √(21×8×7×6) = √7056 = 84 平方单位，正好是整数。
边长为 13、14、15 的三角形各角是多少？
对于边 a = 13、b = 14、c = 15，用余弦定理可得角 A ≈ 53.13°，角 B ≈ 59.49°，角 C ≈ 67.38°，三者之和为 180°（考虑舍入误差）。
已知两边及夹角，如何求解三角形？
先用余弦定理求出第三边：c² = a² + b² − 2ab·cos C。再用变形后的余弦定理，或用正弦定理，求出剩下的两个角。
什么是三角不等式？
三角不等式指出，三角形任意两边长度之和必须大于第三边的长度。如果任意一对边不满足这一条件，这三条边就无法构成三角形。
如何求直角三角形的斜边？
斜边等于两条直角边平方和的平方根：c = √(a² + b²)。两条直角边分别为 3 和 4 的直角三角形，斜边为 √(9+16) = √25 = 5。
三角形可以有两个直角吗？
不可以。由于平面三角形的三个内角之和永远恰好是 180°，如果有两个 90° 的角，第三个角就只剩 0°，这不是一个有效的三角形。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).