两个定理,两组不同的已知条件
每一个不是直角三角形的三角形——称为斜三角形——都可以由三个已知量完全解出,但具体适用哪个公式取决于已知的究竟是哪三个量。正弦定理和余弦定理是解决这类问题的两种通用工具,各自适用于不同的已知条件组合。
| 已知条件 | 方法 | 备注 |
|---|---|---|
| 两角加任意一边(AAS或ASA) | 正弦定理 | 始终恰好一个解 |
| 两边加夹角(SAS) | 余弦定理 | 始终恰好一个解 |
| 三边(SSS) | 余弦定理 | 始终恰好一个解(若满足三角形不等式) |
| 两边加非夹角(SSA) | 正弦定理,需谨慎 | 可能有零个、一个或两个解——多解情形 |
正弦定理:两角及一边(AAS/ASA)
正弦定理指出,在任意三角形中,一条边的长度与其所对角的正弦值之比,对三条边都相同:a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)。已知两个角和任意一条边时,第三个角可直接由三角形内角和为180度求得,而另外两条未知边则可直接由该比例关系求得。
实例演算:角A = 40度,边a = 15(与角A相对),角B = 60度。第一步:角C = 180 - 40 - 60 = 80度。第二步:边b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60度) / sin 40度 = (15 x 0.8660) / 0.6428,约等于20.2094。第三步:边c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80度) / sin 40度,约等于22.9813。该三角形的面积,用1/2 x a x b x sin C计算,约为1/2 x 15 x 20.2094 x sin(80度),约等于149.2681平方单位。
余弦定理:两边及夹角(SAS),或三边(SSS)
余弦定理是勾股定理向非直角三角形的推广:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C),其中C是夹在边a和边b之间的角。当C恰好为90度时,cos(C) = 0,该公式恰好化简为勾股定理,a^2 + b^2 = c^2。
实例演算:边a = 8,边b = 11,夹角C = 37度。第一步:c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37度) = 64 + 121 - 176 x 0.7986,约等于185 - 140.55 = 44.45,因此c约等于6.6663。第二步:一旦三边全部已知,其余角度可由变形公式cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)求得,得到角A约为46.2375度,角B约为96.7625度(与C = 37度相加恰好为180度,符合要求)。面积,1/2 x a x b x sin(C),约为1/2 x 8 x 11 x sin(37度),约等于26.4799平方单位。
SSA多解情形,如实讲解
当已知两边及一个非夹角(SSA)——例如边a、边b和角A,其中A并非夹在a和b之间的角——时,仍然可以应用正弦定理,但满足给定条件的有效三角形数目并不总是一个。根据具体数值,可能存在零个三角形(给定的角和边根本无法构成闭合三角形)、恰好一个三角形,或者恰好两个不同但都成立的三角形。
决定因素是高h = b x sin(A),将其与边a比较。若a小于h,不存在三角形。若a等于h,恰好存在一个三角形,且在边a所对的顶点处为直角。若h小于a且a小于b,存在两个不同的三角形。若a大于或等于b,恰好存在一个三角形。
多解情形实例演算:边a = 20,边b = 25,角A = 40度。此处h = 25 x sin(40度),约等于16.0697,由于16.0697小于20,且20小于25,有两个不同的三角形满足这些条件。分别求解:第一个三角形的角B约为53.4641度,角C约为86.5359度,边c约为31.0576;第二个三角形的角B约为126.5359度,角C约为13.4641度,边c约为7.2446。两个三角形使用完全相同的初始值a = 20、b = 25和A = 40度,却描述了两个确实不同的形状——这正是SSA情形被称为多解情形的原因,也是它需要这一额外检验、而AAS、ASA和SAS都不需要的原因。
实践中如何选择正确的公式
在测绘、导航和工程等领域,实用的做法是先确认实际可得的究竟是哪三个已知量,再选择公式,而不是习惯性地默认使用某一个定理。如果测得的是两个角(在从两个固定观测点进行三角测量时很常见),正弦定理可以直接、明确地适用。如果测得的是两段距离及其夹角(在从同一顶点测出两条边时很常见),余弦定理可以直接、明确地适用。
SSA情形出现的频率可能比想象中更高——例如,测得一条已知边、第二条边,以及一个并非物理夹在它们之间的角——由于它可能悄无声息地产生两个有效答案,只要SSA是唯一可用的已知条件组合,就值得明确检验上文所述的a与h的比较关系,而不是想当然地认为第一个算出的三角形就是唯一符合数据的解。
常见问题
什么时候应该用正弦定理而不是余弦定理?
当已知两角及任意一边(AAS或ASA)时使用正弦定理,这种情形始终恰好有一个解;当已知两边及一个非夹角(SSA)时也使用正弦定理,但需要检验是否存在多解情形。当已知两边及夹角(SAS)或三边全部已知(SSS)时,则改用余弦定理。
什么是SSA多解情形?
SSA是指已知两边及一个非夹角。根据具体数值,这种条件组合可能产生零个、一个或两个有效三角形,不同于AAS、ASA或SAS总是恰好产生一个解。例如,当a = 20、b = 25、角A = 40度时,有两个不同的三角形都满足给定条件——一个角B约为53.4641度,另一个角B约为126.5359度。
如何用余弦定理求未知边?
应用c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C),其中C是夹在边a和边b之间的角,然后取平方根。对于a = 8、b = 11、C = 37度,c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37度),约等于44.45,因此c约等于6.6663。
如何用正弦定理求未知边?
建立比例式a / sin(A) = b / sin(B)并求解未知边。对于角A = 40度、边a = 15、角B = 60度,边b = (15 x sin 60度) / sin 40度,约等于20.2094。
余弦定理能仅凭三边(SSS)求解三角形吗?
可以。三边全部已知时,余弦定理可变形求出每个角:cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)。正弦定理无法用于求解SSS问题的起点,因为它需要至少一个已知角来建立比例式,而SSS并不能直接提供这一条件。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).