各图形的面积公式
下表汇总了本计算器支持的每种图形所用的标准公式和所需输入。
| 图形 | 面积公式 | 所需输入 |
|---|---|---|
| 圆形 | A = πr² | 半径 r |
| 三角形 | A = ½ × 底 × 高 | 底、高 |
| 矩形 | A = 底 × 宽 | 底、宽 |
| 梯形 | A = ½ × (a + b) × 高 | 两条平行边 a、b，高 |
| 平行四边形 | A = 底 × 高 | 底、高 |
| 椭圆 | A = π × a × b | 半轴 a、b |
| 正多边形 | A = ns² ÷ (4 tan(π/n)) | 边数 n，边长 s |
| 扇形 | A = ½ r²θ | 半径 r，角度 θ |
- 椭圆周长没有精确的封闭表达式，需要用椭圆积分。本计算器采用拉马努金第二近似公式，即使对非常扁的椭圆，误差也在约 0.02% 以内，接近圆形时误差远小于此。
- 用底和高求三角形面积（½ × 底 × 高）时，只有当「高」是从底边到对角顶点的垂直距离，而不是斜边长度，这一公式才精确成立。
- 对于不规则多边形，或只知道三条边长的三角形，应改用海伦公式——参见三角形计算器。
- 正多边形公式假设全部 n 条边和内角都相等；它不适用于不规则多边形。
什么是面积？
面积是一个图形边界所围成的二维空间大小，用平方单位（例如平方米或平方英尺）来度量。每一种规则图形都有一个公式，可以根据少量测得的尺寸——例如圆的半径，或矩形的底和宽——求出它的面积。
这里涵盖的八种图形——圆形、三角形、矩形、梯形、平行四边形、椭圆、正多边形和扇形——涵盖了学校几何、施工估算和日常测量问题中最常遇到的图形。每种图形都使用各自独立的标准公式。
如何使用本面积计算器
- 从图形下拉菜单中选择你要计算的图形。
- 输入该图形所需的尺寸——例如圆形需要半径，三角形或平行四边形需要底和高。
- 对于梯形，需要输入两条平行边（a 和 b）以及它们之间的垂直高度。
- 对于正多边形，需要输入边数（n）和一条边的长度（a）；对于扇形，需要输入半径和以度为单位的圆心角。
- 查看面积以及周长或弧长等次要结果，这些结果会随你改变数值即时更新。
各图形面积公式背后的原理
每种图形都使用各自的闭式面积公式。为扇形输入的角度，会先从度换算为弧度再用于计算，因为扇形公式是按弧度定义的。
常见错误
- 输入了三角形的斜边长度，而不是垂直高度，这会导致算出的面积偏大。
- 在圆形或扇形中把半径和直径搞混——公式需要的是半径，而不是直径。
- 对于扇形，输入的是弧度制角度，而计算器要求的是度数（0–360°）。
- 对于梯形，把一条非平行边误当作两条平行边 a、b 之一。
- 以为正多边形公式也适用于边长或角度不相等的不规则图形。
常见问题
如何求圆的面积？
圆的面积等于 π 乘以半径的平方（A = πr²）。半径为 5 的圆，面积为 π × 5² = π × 25 ≈ 78.5398 平方单位。
三角形的面积是多少？
三角形的面积等于底乘以垂直高度再取一半（A = ½ × 底 × 高）。底为 4、高为 3 的三角形，面积为 ½ × 4 × 3 = 6 平方单位。
如何求梯形的面积？
梯形的面积等于两条平行边之和的一半，乘以它们之间的垂直高度：A = ½ × (a + b) × 高。若两条平行边分别为 3 和 5，高为 4，则面积为 ½ × (3 + 5) × 4 = 16 平方单位。
正多边形的面积是多少？
正多边形的面积等于 n × s² ÷ (4 × tan(π/n))，其中 n 是边数，s 是边长。边长为 4 的正六边形（n = 6），面积为 (6 × 4²) ÷ (4 × tan(30°)) ≈ 41.5692 平方单位。
椭圆的面积怎么计算？
椭圆的面积等于 π 乘以它的两个半轴：A = π × a × b，其中 a 和 b 分别是半长轴和半短轴的长度。半轴为 3 和 5 的椭圆，面积为 π × 3 × 5 ≈ 47.1239 平方单位。
扇形的面积是多少？
扇形的面积等于半径的平方乘以以弧度表示的圆心角，再取一半：A = ½r²θ。半径为 5、圆心角为 60°（θ = π/3 弧度）的扇形，面积为 ½ × 25 × (π/3) ≈ 13.0900 平方单位。
计算器除了面积，还会给出周长吗？
会的。对于根据给定输入能明确算出周长的图形——矩形、椭圆、正多边形和扇形——计算器也会给出周长（圆形则给出圆周长，扇形则给出弧长）。
参考文献
- NIST Handbook 44 / NIST Guide to the SI — standard geometric unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Regular Polygon." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).