如何理解转换结果
一些常见的有限小数对应着值得记住的简单分数。下表列出了常用的对应关系。
| 小数 | 分数 | 百分比 |
|---|---|---|
| 0.5 | 1/2 | 50% |
| 0.25 | 1/4 | 25% |
| 0.75 | 3/4 | 75% |
| 0.2 | 1/5 | 20% |
| 0.125 | 1/8 | 12.5% |
| 0.625 | 5/8 | 62.5% |
| 0.0625 | 1/16 | 6.25% |
- 一个小数能够终止，当且仅当它的最简分数的分母只含有质因数 2 和 5。这也是为什么 1/3、1/6 和 1/7 会产生循环小数。
- 循环小数无法被精确输入：0.333333 会转换成 333333/1000000，而不是 1/3。对于循环小数，需要用代数方法处理（设 x = 0.333…，则 10x − x = 3，于是 x = 1/3）。
- 本计算器最多支持九位小数；超过这个位数，浮点数的表示精度会限制精确转换。
什么是小数转分数？
有限小数是指数字在有限位小数后就结束的数，例如 0.625 或 0.32。每一个有限小数都可以精确地写成分母为 10 的幂的分数：小数点后的数字构成分子，分母是 10 的（小数位数）次幂。0.625 有三位小数，所以它等于 625/1000。
得到分数后，再用分子和分母的最大公约数（GCD）进行约分。对于 625/1000，最大公约数是 125，约分后得到 5/8。整数之比称为有理数，每一个有限小数都是有理数。
像 0.333… 这样的循环小数（恰好等于 1/3）同样表示有理数，但需要用另一种代数方法处理，无法作为有限小数精确输入。输入 0.333333 转换的是这个精确的六位小数（333333/1000000），而不是 1/3。本计算器支持最多九位小数的有限小数。
如何使用这个小数转分数计算器
- 输入你想转换的小数值，例如 0.625 或 2.5，支持负数。
- 查看约分后的分数。负数输入的符号会标在分子上。
- 查看对应的百分比，它等于该小数乘以 100。
- 如需手工核对，把小数点后的数字写成分子，分母取相应的 10 的幂，再用两者的最大公约数进行约分。
位值转换法
数一数小数点后有多少位数字（记这个位数为 k）。把小数乘以 10 的 k 次方得到整数分子，同时用 10 的 k 次方作分母，再用两者的最大公约数把分数化到最简。
演示：0.625。它有 k = 3 位小数，所以 0.625 = 625/1000。625 和 1000 的最大公约数是 125。两者相除：625/125 = 5，1000/125 = 8，所以 0.625 = 5/8。换算成百分比，0.625 × 100 = 62.5%。
第二个例子：0.32 = 32/100。32 和 100 的最大公约数是 4，所以 0.32 = 8/25 = 32%。
大于 1 的小数转换方法相同：2.5 = 25/10 = 5/2，也可以写成带分数 2 1/2。
常见错误
- 以为 0.33 或 0.333333 会转换成 1/3——只有无限循环的 0.333… 才恰好等于 1/3；任何有限位数的输入都会转换成一个不同的、精确的分数。
- 用错了 10 的次幂：0.625 是 625/1000（三位小数），而不是 625/100。
- 忘记约分：625/1000 和 5/8 数值相等，但按惯例应给出最简分数。
- 漏掉负小数的符号——负号应标在结果分数的分子上。
常见问题
怎样把小数转换成分数？
把小数点后的数字作为分子，分母取 10 的（小数位数）次幂，然后用最大公约数化简。例如 0.625 = 625/1000；625 和 1000 的最大公约数是 125，所以 0.625 = 5/8。
0.625 化成分数是多少？
0.625 等于 5/8。转换过程：0.625 有三位小数，所以等于 625/1000。用它们的最大公约数 125 分别去除分子和分母，得到 5/8。换算成百分比，0.625 是 62.5%。
是不是所有小数都能写成分数？
每一个有限小数和每一个循环小数都可以精确地写成整数之比——这些数就是有理数。像圆周率（3.14159…）和根号 2 这样的无理数，其小数展开既不终止也不循环，因此无法精确地写成任何整数之比。
像 0.333… 这样的循环小数怎么转换成分数？
要用代数方法，而不是位值法。设 x = 0.333…；两边乘以 10 得到 10x = 3.333…；用第二个式子减去第一个式子，得到 9x = 3，所以 x = 3/9 = 1/3。而像 0.333333 这样的有限输入是另一个不同的数，会转换成 333333/1000000。
大于 1 的小数怎么转换？
转换方法完全相同，仍然用位值法。例如 2.5 = 25/10，用最大公约数 5 化简后得到 5/2。假分数 5/2 也可以写成带分数 2 1/2；两种写法表示的是同一个数值。
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Decimal Expansion." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Rational Number." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Niven I. Numbers: Rational and Irrational. Mathematical Association of America, 1961.