Dizi önizlemesini anlamak
Ortak farkın işareti, dizinin artıp artmayacağını, azalıp azalmayacağını veya sabit mi kalacağını belirler; aşağıda ilk terimi 3 için gösterilmiştir.
| Ortak fark (d) | Davranış | İlk 5 terim (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (örneğin d = 4) | Artan dizi | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Sabit dizi — her terim a₁'e eşittir | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (örneğin d = −4) | Azalan dizi | 3, −1, −5, −9, −13 |
- Dizi önizlemesi ilk 8 terime kadar gösterir; n 8'den büyük olduğunda, bir üç nokta (…) dizinin görüntülenenin ötesinde devam ettiğini gösterir, ancak n'inci terim ve toplam, girdiğiniz tam n değeri için yine de tam olarak hesaplanır.
- Geometrik bir dizinin aksine, aritmetik bir dizide n arttıkça terimlerin ne kadar büyük veya küçük olabileceğine dair bir üst sınır yoktur (d = 0 olmadığı sürece) ve sonlu bir 'sonsuza toplam' yoktur — kısmi toplam Sₙ, n arttıkça sınırsız büyür (d ≠ 0 için).
Aritmetik dizi nedir?
Bir aritmetik dizi (aritmetik ilerleme de denir), her terim ile kendisinden önceki terim arasındaki farkın her zaman aynı sabit olduğu — ortak fark (d) olarak adlandırılan — sıralı bir sayı listesidir. Örneğin, 3, 7, 11, 15, 19 dizisi, ilk terimi 3 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizidir, çünkü her terim bir öncekinden 4 fazladır.
Ortak fark pozitif (artan bir dizi), negatif (azalan bir dizi) veya sıfır (her terimin ilk terime eşit olduğu sabit bir dizi) olabilir. Aritmetik diziler, her adımda aynı sabit miktar kadar değişen her türlü süreci modeller; örneğin eşit sabit yatırımlarla bir tasarruf planı, sabit sayıda ek koltuk eklenen oturma sıraları veya sabit bir aralıkla azalan bir geri sayım sayacı.
Bir aritmetik dizi hakkında yaygın olarak iki ilgili büyüklük sorulur: belirli bir terimin değeri (n'inci terim) ve ardışık bir terim dizisinin toplamı (bir kısmi toplam, bazen aritmetik seri olarak adlandırılır). Bu hesaplayıcı, aynı üç girdiden ikisini birden hesaplar.
Bu aritmetik dizi hesaplama aracı nasıl kullanılır
- Dizinin ilk terimini (a₁) girin — başlangıç değeri.
- Ortak farkı (d) girin — her terimden bir sonrakini elde etmek için eklenen sabit miktar. Azalan bir dizi için negatif bir sayı kullanın.
- n'inci terimi ve toplamı bulmak istediğiniz terim sayısını (n) girin.
- n'inci terimi, ilk n terimin toplamını ve dizinin ilk 8 terimine kadarını gösteren bir önizlemeyi okuyun.
Aritmetik dizi formülleri
Bir aritmetik dizinin n'inci terimi, ilk terimden başlayıp ortak farkı (n − 1) kez ekleyerek bulunur, çünkü ilk terimin kendisi sıfır ekleme gerektirir: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Çözülmüş örnek, a₁ = 3, d = 4, n = 10 ile: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
İlk n terimin toplamı, ilk ve son terimi, ikinci ve sondan ikinci terimi ve böyle devam ederek eşleştirmenin her zaman aynı çift toplamını (a₁ + aₙ) verdiği gerçeğini kullanır. Bu, kapalı form toplam Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), eşdeğer olarak Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ) sonucunu verir. Çözülmüş örnek: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Bu toplam formülü, matematik folklorunda genç Carl Friedrich Gauss'a atfedilir; Gauss'un 1'den 100'e kadar olan tam sayıları 1+100, 2+99 şeklinde eşleştirerek topladığı, her biri 101'e eşit olan 50 çift elde ederek toplamda 5050 sonucuna ulaştığı söylenir — burada kullanılan genel formülün temelinde de aynı eşleştirme mantığı yatar.
Sık yapılan hatalar
- n'inci terim formülünde (n − 1) yerine n kullanmak — ilk terim (n = 1) bir değil sıfır kez d eklenmesini gerektirir, çünkü aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Ortak farkı ortak oranla karıştırmak — aritmetik diziler her adımda sabit bir miktar ekler; geometrik diziler bunun yerine sabit bir çarpanla çarpar.
- Toplam formülünün her terimi listelemeyi gerektirdiğini varsaymak — kapalı form formül Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d), her terimi tek tek eklemeye gerek kalmadan toplamı doğrudan hesaplar.
- Tam sayı olmayan bir terim sayısı girmek — n, bir terim konumunu (1., 2., 3., ...) temsil eden pozitif bir tam sayı olmalıdır, kesirli bir sayı değil.
Sıkça Sorulan Sorular
Bir aritmetik dizinin n'inci terimi nasıl bulunur?
aₙ = a₁ + (n − 1)d formülünü kullanın; burada a₁ ilk terim, d ortak fark ve n bulmak istediğiniz terim numarasıdır. a₁ = 3, d = 4 ve n = 10 için: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Bir aritmetik dizinin toplamı nasıl bulunur?
Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d) formülünü kullanın; bu, her terimi tek tek eklemeye gerek kalmadan ilk n terimi toplar. a₁ = 3, d = 4, n = 10 için: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Aritmetik ve geometrik dizi arasındaki fark nedir?
Aritmetik bir dizide ardışık terimler arasında sabit bir fark vardır (her terim = önceki terim + d). Geometrik bir dizide ardışık terimler arasında sabit bir oran vardır (her terim = önceki terim × r). Aritmetik diziler doğrusal büyür; geometrik diziler, oranın büyüklüğü 1 olmadığında üstel olarak büyür (veya küçülür).
Ortak fark negatif veya sıfır olabilir mi?
Evet. Negatif bir ortak fark azalan bir dizi üretir (örneğin d = −3 ile 10, 7, 4, 1, −2). Sıfır olan bir ortak fark, her terimin ilk terime eşit olduğu sabit bir dizi üretir. Her ikisi de geçerli aritmetik dizilerdir.
İki terimden ortak fark nasıl bulunur?
Herhangi bir terimi, hemen ardından gelen terimden çıkarın: d = aₙ₊₁ − aₙ. Yalnızca ardışık olmayan iki terimi, aₘ ve aₙ'yi biliyorsanız, d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m) kullanın.
Kaynaklar
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.