Birim çember üzerindeki koordinatlar: (cos theta, sin theta)
Birim çember, koordinat düzleminin orijininde (0,0) merkezlenmiş ve yarıçapı tam olarak 1 olan çemberdir. Pozitif x ekseninden başlayarak saat yönünün tersine ölçülen herhangi bir theta açısı için, orijinden bu açıyla bir doğru çizip çemberi kestiği noktayı bulduğumuzda, o noktanın x koordinatı cos(theta), y koordinatı ise sin(theta) olur -- doğrudan, hiçbir ölçekleme gerekmeden; çünkü çemberin yarıçapı 1'dir.
Her trigonometrik özdeşliğin altında yatan geometrik tanım budur: kosinüs, tanımı gereği birim çember üzerinde belirli bir açıdaki x koordinatı, sinüs ise y koordinatıdır. Tanjant da doğrudan bu ikisinin oranı olarak gelir: tan(theta) = sin(theta) / cos(theta); bu da geometrik olarak orijinden çember üzerindeki o noktaya giden doğrunun eğimini temsil eder.
Bölge işaretleri: sinüs ve kosinüs nerede pozitif, nerede negatif
Koordinat düzlemi, x ve y eksenleriyle dört bölgeye ayrılır; sinüs ile kosinüs birim çember üzerindeki bir noktanın yalnızca y ve x koordinatları olduğundan, her bölgedeki işaretleri o bölgedeki koordinatların işaretinden doğrudan çıkar.
Bu düzen İngilizcede bir baş harf kısaltmasıyla akılda tutulur, ama Türkçede aynı sıra daha kolay hatırlanır: I. bölgeden başlayıp saat yönünün tersine giderken hangi fonksiyonların pozitif olduğunu “Hepsi, Sinüs, Tanjant, Kosinüs” diye sıralayın. Yani I. bölgede üç fonksiyon da pozitiftir, II. bölgede yalnızca sinüs, III. bölgede yalnızca tanjant, IV. bölgede ise yalnızca kosinüs pozitiftir.
| Bölge | Açı aralığı | sin theta | cos theta | tan theta |
|---|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | pozitif | pozitif | pozitif |
| II | 90°-180° | pozitif | negatif | negatif |
| III | 180°-270° | negatif | negatif | pozitif |
| IV | 270°-360° | negatif | pozitif | negatif |
Referans açılar: I. bölge dışındaki tam değerleri bulmak
Referans açı, bir açının bitim kenarı ile x ekseninin en yakın noktası arasında oluşan ve her zaman 0 ile 90 derece arasında kalan dar açıdır. Referans açılar sayesinde herhangi bir açının tam sinüs, kosinüs ya da tanjant değeri, önce beş standart I. bölge açısından birine bağlanarak, ardından asıl açının bulunduğu bölgeye uygun işaret verilerek bulunabilir.
Örneğin 150 derecelik bir açı II. bölgede yer alır ve referans açısı 180 - 150 = 30 derecedir. Sinüs II. bölgede pozitif olduğundan sin(150 derece), artı sin(30 derece) = 0,5'e eşittir. Kosinüs ise II. bölgede negatif olduğundan cos(150 derece), eksi cos(30 derece) yani yaklaşık -0,8660 olur. Büyüklüğü referans açı, işareti ise bölge belirler.
Standart 0/30/45/60/90 derece tablosu
Beş açının -- 0, 30, 45, 60 ve 90 derece, hepsi I. bölgede -- sinüs ve kosinüs değerleri uzun ondalıklar yerine tam sayılarla ifade edilebilir; bu değerler, referans açılar aracılığıyla diğer bütün standart açılardaki tam trigonometrik değerlerin temelini oluşturur. Aşağıdaki tablo her biri için hem tam biçimi hem de ondalık yaklaşımı listeler.
Simetriye dikkat edin: 0'dan 90 dereceye kadarki sinüs değerleri (0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1), kosinüs değerlerinin tam olarak ters sıralanmış hâlidir. Bu da sinüs ile kosinüsün tümler fonksiyonlar olmasının doğrudan bir sonucudur -- her theta açısı için sin(theta) = cos(90 derece - theta).
| Açı | sin theta (tam) | sin theta (ondalık) | cos theta (tam) | cos theta (ondalık) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 30° | 1/2 | 0,5 | sqrt(3)/2 | 0,8660 |
| 45° | sqrt(2)/2 | 0,7071 | sqrt(2)/2 | 0,7071 |
| 60° | sqrt(3)/2 | 0,8660 | 1/2 | 0,5 |
| 90° | 1 | 1 | 0 | 0 |
Eş bitimli açılar ve bir tam turun ötesi
360 dereceden büyük açılar ya da negatif açılar da birim çember üzerinde belirli bir noktaya karşılık gelir -- yalnızca çemberin çevresini bir ya da birkaç kez fazladan dolanırlar. Eş bitimli açı, sonuç 0 ile 360 derece aralığına düşene kadar 360 derecenin katları eklenerek ya da çıkarılarak bulunan, tek bir tam dönüş içindeki eşdeğer açıdır.
Örneğin 405 derecelik bir açının eş bitimli açısı 405 - 360 = 45 derecedir; yani her iki açı da birim çember üzerinde tamamen aynı yeri gösterir ve dolayısıyla aynı sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini paylaşır. Benzer biçimde -30 derecelik bir açının eş bitimli açısı -30 + 360 = 330 derecedir ve bu da IV. bölgeye düşer.
Sıkça Sorulan Sorular
Birim çember üzerinde belirli bir açıdaki noktanın koordinatları nedir?
Pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçülen herhangi bir theta açısı için, birim çember üzerindeki karşılık gelen noktanın koordinatları tam olarak (cos theta, sin theta) olur -- x koordinatı her zaman açının kosinüsü, y koordinatı ise her zaman sinüsüdür; çemberin yarıçapı 1 olduğundan ek bir ölçeklemeye gerek kalmaz.
sin(60 derece) değerinin tam değeri nedir?
sin(60 derece), 3'ün karekökünün yarısına eşittir; bu tam değer yaklaşık olarak 0,8660'tır. Tümler eş fonksiyonu cos(60 derece) ise tam olarak 1/2 = 0,5'tir; bu da sin(60 derece) = cos(90 derece - 60 derece) = cos(30 derece) bağıntısıyla tutarlıdır.
Referans açı nasıl bulunur?
Referans açı, bir açının bitim kenarı ile en yakın x ekseni arasındaki dar açıdır. II. bölgede açıyı 180 dereceden çıkarın; III. bölgede açıdan 180 dereceyi çıkarın; IV. bölgede açıyı 360 dereceden çıkarın. 150 derece için (II. bölge) referans açı 180 - 150 = 30 derecedir.
Kosinüs II. bölgede neden negatiftir?
Çünkü kosinüs, birim çember üzerindeki bir noktanın x koordinatına eşittir ve II. bölgedeki (90 ile 180 derece arasındaki açılara karşılık gelen) her nokta y ekseninin solunda, yani negatif x koordinatında yer alır. Sinüs ise orada pozitif kalır; çünkü II. bölge noktalarının y koordinatı hâlâ pozitiftir.
Eş bitimli açı nedir?
Eş bitimli açı, tam sayıda 360 derecelik dönüş kadar azaltıldığında (ya da artırıldığında) birim çemberin tam olarak aynı noktasına düşen açıdır. 405 derecelik bir açının eş bitimli açısı 405 - 360 = 45 derecedir; ikisi de çember üzerinde aynı konumu anlattığından aynı sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini paylaşır.
Kaynaklar
- Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).