Basit faiz nedir?
Basit faiz yalnızca başlangıçtaki anapara üzerinden, I = P x r x t formülüyle hesaplanır; burada P anaparayı, r ondalık olarak ifade edilen yıllık faiz oranını, t ise yıl cinsinden süreyi gösterir. Kazanılan faiz, faiz üreten tabana hiçbir zaman geri eklenmediği için basit faizde bakiye her dönem tam olarak aynı tutarda artar. Örneğin yıllık %5 basit faizle değerlendirilen $10.000, birinci yılda $500, ikinci yılda $500 ve izleyen her yılda yine $500 kazandırır; toplam bakiye P + (P x r x t) olur.
Basit faiz, hesaplanması ve öngörülmesi kolay olduğu için bazı taşıt kredileri, kısa vadeli senetler ve bazı hazine bonosu hesaplamaları gibi kısa vadeli borçlanma bağlamlarında kullanılır. Ayırt edici özelliği doğrusal büyümedir: her dönem aynı değişmez faiz tutarını eklediğinden, yatırımın ne kadar süredir tutulduğuna bakılmaksızın bakiyenin zamana göre grafiği düz bir doğru çizer.
Bileşik faiz nedir?
Bileşik faiz, hem başlangıçtaki anapara hem de bakiyeye daha önce eklenmiş faizler üzerinden, A = P(1 + r/n)^(nt) formülüyle hesaplanır; burada A nihai tutarı, P anaparayı, r ondalık olarak yıllık faiz oranını, n faizin yılda kaç kez bileşiklendiğini, t ise yıl cinsinden süreyi gösterir. Her dönemin faizi bir sonraki dönemin hesaplama tabanına dahil olduğundan bakiye sabit bir hızla değil, giderek hızlanan bir tempoyla büyür.
Bileşiklenme sıklığı olan n sonucu belirgin biçimde etkiler: yıllık bileşiklenmede n = 1, aylıkta n = 12, günlükte n = 365 olur. n arttıkça ve sürekli bileşiklenmeye yaklaşıldıkça büyüme çarpanı, matematiksel sabit e (Euler sayısı) üssü rt değerine yaklaşır; buna karşılık aylık ve günlük bileşiklenme arasındaki fark, çoğu bireysel tasarruf ve kredi ürününde pratikte küçüktür.
Örnek hesap: %5 faizle $10.000, 10, 20 ve 30 yılda
Aşağıdaki tablo, yıllık %5 oranla büyüyen $10.000 anaparayı basit faiz ile aylık bileşiklenen (n = 12) bileşik faiz altında karşılaştırır; bileşik sütun A = P(1 + r/n)^(nt), basit sütun ise I = P x r x t ile hesaplanmıştır. İki yöntem arasındaki fark vade uzadıkça belirgin biçimde açılır; bu da uzun vadeli sonuçlarda ilan edilen faiz oranından çok bileşiklenme sıklığının ve sürenin belirleyici olduğunu gösterir.
| Vade | Basit faizle bakiye | Bileşik faizle bakiye (aylık) | Bileşiklenmeden gelen ek tutar |
|---|---|---|---|
| 10 yıl | $15.000,00 | $16.470,09 | $1.470,09 |
| 20 yıl | $20.000,00 | $27.126,40 | $7.126,40 |
| 30 yıl | $25.000,00 | $44.677,44 | $19.677,44 |
72 kuralı: pratik bir zihinden hesap kestirmesi
72 kuralı, belirli bir yıllık bileşik faiz oranında bir tutarın kaç yılda ikiye katlanacağını tahmin etmek için kullanılan bir yaklaşımdır ve 72 sayısının tam sayı olarak yazılan faiz oranına bölünmesiyle bulunur. Örneğin yıllık %6 oranda kural 72 / 6 = 12 yıl, %9 oranda 72 / 9 = 8 yıl, %12 oranda ise 72 / 12 = 6 yıl öngörür.
72 kuralı, yaklaşım hatasının en küçük olduğu kabaca %6 ile %10 arasındaki yıllık bileşik faiz oranlarında en isabetli sonucu verir; çok düşük ya da çok yüksek oranlarda tahmin, bileşik faiz formülünden çıkan gerçek ikiye katlanma süresinden daha fazla sapar. Yukarıdaki %5 örneğine uygulandığında aylık bileşiklenme yaklaşık %5,12 efektif yıllık orana karşılık gelir; bu da 72 / 5,12, yani yaklaşık 14,1 yıllık bir ikiye katlanma süresi verir ve tablodaki bakiyenin 10. yıl ile 20. yıl arasında kabaca ikiye katlanmasıyla tutarlıdır.
Bileşiklenme sıklığı neden önemli?
Aynı nominal yıllık oran için bileşiklenme ne kadar sık olursa efektif yıllık oran o kadar yükselir ve nihai bakiye o kadar büyür. Aylık bileşiklenen (n = 12) %5 oran yaklaşık %5,12 efektif yıllık orana ulaşır; bu, yıllık bileşiklenmedeki (n = 1) %5,00 efektif orandan yüksektir, çünkü faiz bakiyeye yılda bir kez değil on iki kez eklenir ve kendi faizini kazanmaya başlar.
Finansal bilgilendirmelerde nominal (ilan edilen) faiz oranının, bileşiklenme sıklığını da hesaba katan yıllık getiri oranından (APY) ya da efektif yıllık orandan ayrı gösterilmesinin nedeni tam olarak budur. Aynı nominal oranı duyuran iki tasarruf ürününden biri günlük, diğeri yıllık bileşikleniyorsa gerçek getirileri farklı olur; dolayısıyla ürünleri doğru karşılaştırmak için yalnızca nominal oranlara değil, efektif yıllık oranlara bakmak gerekir.
Tasarruf ve borçlanma açısından pratik sonuçlar
Bileşik faiz, tasarruf sahibinin ve yatırımcının lehine çalışır: uzun vadede dokunulmadan bırakılan bakiyeler, örnek hesapta görülen hızlanan büyümeden orantısız biçimde yararlanır. Erken başlamanın tek bir katkının büyüklüğünden daha çok vurgulanmasının nedeni de budur. Özellikle emeklilik hesapları, ölçülü ve düzenli katkıları ihtiyaç duyulduğu ana kadar çok daha büyük bakiyelere dönüştürmek için onlarca yıllık bileşiklenmeye dayanır.
Aynı matematik borçlunun aleyhine de işler: genellikle yüksek yıllık oranlarla günlük ya da aylık bileşiklenen kredi kartı bakiyeleri, yalnızca asgari ödeme yapıldığında hızla büyüyebilir; çünkü ödenmeyen faiz bakiyeye eklenir ve kendisi de faiz işletmeye başlar. Bileşik faiz formüllerinin tasarrufun büyümesine olduğu kadar borcun büyümesine de aynı şekilde uygulandığını kavramak, hem yatırım ürünlerini hem de borçlanma maliyetlerini değerlendirmenin merkezinde yer alır.
Sıkça Sorulan Sorular
Basit faiz ile bileşik faiz arasındaki fark nedir?
Basit faiz yalnızca başlangıçtaki anapara üzerinden I = P x r x t formülüyle hesaplanır ve bakiyeyi her dönem aynı sabit tutarda büyütür. Bileşik faiz ise anaparaya kazanılmış faizin de eklenmesiyle A = P(1 + r/n)^(nt) formülüyle hesaplanır; bu nedenle bakiye hızlanarak büyür. Uzun vadede fark ciddileşir: %5 oranla 30 yılda $10.000, basit faizde $25.000 olurken aylık bileşiklenen bileşik faizde $44.677,44 olur.
Bileşik faiz formülündeki bileşiklenme sıklığı (n) ne anlama gelir?
A = P(1 + r/n)^(nt) formülünde n, faizin yıl içinde bakiyeye kaç kez eklendiğini gösterir. Yaygın değerler yıllık bileşiklenme için n = 1, üç aylık için n = 4, aylık için n = 12 ve günlük için n = 365 şeklindedir. Aynı nominal yıllık oranda n büyüdükçe nihai bakiye de büyür, çünkü faiz anaparaya daha sık eklenir ve kendi faizini kazanmaya daha erken başlar.
72 kuralı nasıl işler?
72 kuralı, bir yatırımın belirli bir yıllık bileşik faiz oranında ikiye katlanması için gereken yıl sayısını, 72 sayısını faiz oranına bölerek tahmin eder. Örneğin yıllık %8 büyümede 72 / 8 = 9 yıl, yani yaklaşık dokuz yılda iki katına çıkar. Yaklaşım kabaca %6 ile %10 arasındaki oranlarda en isabetlidir; bu aralığın dışında tahmin, tam bileşik faiz formülüyle hesaplanan gerçek değerden daha çok sapar.
Bileşik faiz tasarruf sahibi için her zaman daha mı iyidir?
Bileşik faiz, kazanılan faiz de faiz ürettiği için zaman içinde tasarruf sahibine genellikle basit faizden daha yüksek getiri sağlar. Ne var ki aynı mekanizma borcun maliyetini de artırır: tamamı kapatılmayan ve bileşiklenen kredi kartı gibi döner bakiyeler, ödenmemiş faizin anaparaya eklenmesiyle hatırı sayılır ölçüde büyüyebilir. Bileşiklenmenin yararlı mı zararlı mı olduğu, kişinin faizi kazanan taraf mı yoksa ödeyen taraf mı olduğuna bağlıdır.
Bileşiklenme sıklığının artması pratikte büyük fark yaratır mı?
Çoğu bireysel tasarruf hesabı ve kredisinde aylık ile günlük bileşiklenme arasındaki fark parasal olarak genelde küçüktür; buna karşılık yıllık ile aylık bileşiklenme arasındaki fark daha belirgindir. %5 nominal yıllık oranda aylık bileşiklenme yaklaşık %5,12 efektif yıllık oran üretir; yıllık bileşiklenmede bu oran tam olarak %5,00 kalır. Fark ölçülü ama ölçülebilirdir ve bakiyeler ile vadeler büyüdükçe daha da anlam kazanır.
Kaynaklar
- U.S. Securities and Exchange Commission, Office of Investor Education and Advocacy. "Compound Interest Calculator." Investor.gov.
- FINRA Investor Education Foundation. "The Rule of 72." FINRA.org.
- Ross SA, Westerfield RW, Jaffe J, Jordan BD. Corporate Finance. 12th ed. McGraw-Hill Education, 2019.
- Fisher I. The Theory of Interest. Macmillan, 1930.