Entendendo os resultados com frações
Os resultados são sempre reduzidos à forma irredutível. A tabela abaixo mostra como cada operação se comporta com as frações de exemplo 1/2 e 1/3.
| Operação | Cálculo | Resultado | Decimal |
|---|---|---|---|
| Somar | 1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 | 5/6 | 0,833333 |
| Subtrair | 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 | 1/6 | 0,166667 |
| Multiplicar | 1/2 x 1/3 = 1/6 | 1/6 | 0,166667 |
| Dividir | (1/2) / (1/3) = 3/2 | 3/2 | 1,5 |
- Uma fração imprópria (numerador maior que o denominador, como 3/2) é um resultado válido; ela também pode ser escrita como o número misto 1 1/2.
- O equivalente decimal exibido é arredondado para seis casas decimais; frações como 1/3 têm expansão decimal infinita.
- Esta calculadora arredonda os valores informados para números inteiros, já que frações são, por definição, razões entre inteiros.
O que é uma fração?
Uma fração representa uma parte de um todo ou, de modo mais geral, uma razão entre dois inteiros: um numerador (o número de cima) dividido por um denominador (o número de baixo). O denominador indica em quantas partes iguais o todo foi dividido, e o numerador indica quantas dessas partes foram tomadas. Frações de mesmo valor podem ter aparências distintas — 1/2, 2/4 e 3/6 representam todas o mesmo número.
Uma fração está na forma irredutível (totalmente simplificada) quando numerador e denominador não têm nenhum fator comum maior que 1. Simplificar significa dividir ambos pelo máximo divisor comum (MDC). Por exemplo, 8/12 se reduz a 2/3, já que o MDC de 8 e 12 é 4. Esta calculadora sempre devolve resultados na forma irredutível, com o eventual sinal negativo carregado pelo numerador.
As quatro operações básicas com frações seguem regras fixas: adição e subtração exigem um denominador comum, a multiplicação multiplica numeradores e denominadores diretamente, e a divisão multiplica pelo inverso da segunda fração. Essas regras decorrem da própria definição de fração como quociente de inteiros.
Como usar esta calculadora de frações
- Informe o numerador e o denominador da primeira fração. Denominadores não podem ser zero, e os valores são tratados como números inteiros.
- Escolha a operação: somar, subtrair, multiplicar ou dividir.
- Informe o numerador e o denominador da segunda fração. Na divisão, o numerador da segunda fração também não pode ser zero.
- Leia o resultado simplificado e seu equivalente decimal. Resultados negativos carregam o sinal no numerador.
Fórmulas das operações com frações
Adição e subtração usam a multiplicação cruzada para chegar a um denominador comum: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd) e a/b - c/d = (ad - cb) / (bd). Em seguida o resultado é reduzido à forma irredutível.
A multiplicação é feita direto: a/b x c/d = (ac) / (bd). Já a divisão multiplica pelo inverso: (a/b) / (c/d) = (ad) / (bc), o que exige que c seja diferente de zero.
Exemplo resolvido (adição): 1/2 + 1/3. Multiplicando cruzado: (1 x 3 + 1 x 2) / (2 x 3) = (3 + 2) / 6 = 5/6. O MDC de 5 e 6 é 1, portanto 5/6 já está na forma irredutível; como decimal, equivale a 0,833333 (arredondado para seis casas).
Exemplo resolvido (divisão): (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1,5. Dividir por uma fração menor que 1 produz um resultado maior que o valor de partida.
Erros comuns
- Somar numeradores e denominadores separadamente: 1/2 + 1/3 não é 2/5 — antes é preciso obter um denominador comum.
- Esquecer de inverter a segunda fração na divisão: (a/b) / (c/d) equivale a a/b x d/c, e não a a/b x c/d.
- Não simplificar o resultado — 4/8 e 1/2 são iguais, mas por convenção a resposta é dada na forma irredutível.
- Cancelar termos de uma soma: em (2 + 3)/2 não se pode cortar os 2, já que o cancelamento vale apenas para fatores comuns de produtos.
- Achar que um denominador maior significa uma fração maior: 1/8 é menor que 1/4, porque o todo foi dividido em mais partes.
Perguntas frequentes
Como somar frações com denominadores diferentes?
Reescreva as duas frações com um denominador comum e some os numeradores. Usando a multiplicação cruzada: a/b + c/d = (ad + cb) / (bd). Por exemplo, 1/2 + 1/3 = (1x3 + 1x2) / (2x3) = 5/6. Por fim, simplifique o resultado dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum.
Como dividir uma fração por outra?
Multiplique a primeira fração pelo inverso da segunda: (a/b) / (c/d) = (a x d) / (b x c). Por exemplo, (1/2) / (1/3) = (1 x 3) / (2 x 1) = 3/2 = 1,5. A divisão por uma fração só está definida quando essa segunda fração é diferente de zero.
Como simplificar uma fração até a forma irredutível?
Divida o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum (MDC). Por exemplo, o MDC de 8 e 12 é 4, portanto 8/12 se reduz a 2/3. Uma fração está na forma irredutível quando o único inteiro positivo que divide numerador e denominador é 1.
O que é uma fração imprópria?
Uma fração imprópria tem numerador cujo valor absoluto é maior ou igual ao denominador, como 3/2 ou 7/4. Frações impróprias são resultados válidos e podem ser reescritas como números mistos: 3/2 = 1 1/2 e 7/4 = 1 3/4. As duas formas representam o mesmo valor.
Por que o resultado às vezes é negativo?
Uma fração é negativa quando numerador e denominador têm sinais opostos, ou quando uma subtração produz um numerador abaixo de zero. Por convenção, esta calculadora coloca o sinal negativo no numerador e mantém o denominador positivo, exibindo -1/2 em vez de 1/-2.
O denominador de uma fração pode ser zero?
Não. A divisão por zero é indefinida, portanto uma fração com denominador zero não tem valor. Esta calculadora não devolve resultado se algum dos denominadores for zero, nem se você dividir por uma fração cujo numerador seja zero (pois essa fração vale zero).
Referências
- Weisstein, Eric W. "Fraction." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST Handbook 44, Appendix C: General Tables of Units of Measurement (standard fraction conventions). nist.gov.