어떤 평균을 사용해야 합니까?
각 평균은 서로 다른 질문에 답합니다. 아래 표는 각 평균이 적절한 요약이 되는 경우를 정리한 것입니다.
| 평균 | 값이 결합되는 방식 | 대표적인 용도 |
|---|---|---|
| 산술평균 | 덧셈 | 시험 점수, 키, 온도, 일반적인 평균 |
| 기하평균 | 곱셈 | 성장률, 투자 수익률, 비율, 지수(index) |
| 조화평균 | 역수 (비율) | 동일 거리에 대한 평균 속력, 주가수익비율, 병렬 저항 |
- 기하평균과 조화평균은 모든 값이 양수일 때에만 정의됩니다. 이 계산기는 목록에 0 또는 음수가 포함되면 두 평균을 표시하지 않습니다.
- 모든 값이 양수인 데이터 집합에서는 산술평균 >= 기하평균 >= 조화평균이 성립하며, 모든 값이 같을 때에만 등호가 성립합니다 (AM-GM-HM 부등식).
- 백분율 성장률을 산술평균으로 평균내면 누적 성장이 과대평가됩니다. 성장 계수의 기하평균이 올바른 등가 일정 비율을 제공합니다.
산술평균, 기하평균, 조화평균이란 무엇입니까?
산술평균은 값들의 합을 그 개수로 나눈 값입니다. 키, 시험 점수, 온도처럼 덧셈으로 결합되는 양에 적합한 평균이며, 대부분의 사람이 '평균'이라고 말할 때 의미하는 값입니다.
기하평균은 n개의 양수를 모두 곱한 값의 n제곱근입니다. 성장률이나 비율처럼 곱셈으로 결합되는 양에 적합한 평균입니다. 연간 성장 계수의 기하평균은 동일한 전체 성장을 만들어 내는 일정한 비율을 제공합니다. 0이 포함되면 곱이 0으로 무너지고 음수가 포함되면 근이 실수가 아닐 수 있으므로, 모든 값이 양수인 데이터에 대해서만 정의됩니다.
조화평균은 값의 개수를 각 값의 역수의 합으로 나눈 값입니다. 분자가 고정된 비율을 평균낼 때 적합하며, 대표적인 경우가 동일한 거리를 이동할 때의 평균 속력입니다. 기하평균과 마찬가지로 모든 값이 양수여야 합니다. 모든 값이 양수인 데이터 집합에서 세 평균은 산술평균 >= 기하평균 >= 조화평균이라는 부등식을 만족하며, 모든 값이 동일할 때에만 등호가 성립합니다.
이 평균 계산기 사용 방법
- 숫자를 세미콜론으로 구분하여 입력합니다. 예: 4; 8; 15; 16; 23; 42.
- 항상 표시되는 산술평균을 확인합니다.
- 모든 값이 양수라면 기하평균과 조화평균도 함께 확인합니다. 목록에 0 또는 음수가 포함된 경우에는 정의되지 않으므로 표시되지 않습니다.
- 문제에 맞는 평균을 선택합니다. 덧셈으로 결합되는 양에는 산술평균, 성장률과 비율에는 기하평균, 동일한 거리에 대한 속력과 같은 비율에는 조화평균을 사용합니다.
세 가지 평균의 공식
산술평균: n개의 값을 더한 뒤 n으로 나눕니다. 기하평균: n개의 값을 모두 곱한 뒤 n제곱근을 취합니다 (실제 계산에서는 로그 평균의 지수로 구합니다). 조화평균: n을 역수의 합으로 나눕니다.
값 1, 4, 16에 대한 계산 예시입니다. 산술평균: (1 + 4 + 16) / 3 = 21 / 3 = 7. 기하평균: 곱은 1 x 4 x 16 = 64이고 64의 세제곱근은 4입니다. 조화평균: 3 / (1/1 + 1/4 + 1/16) = 3 / (21/16) = 48/21, 약 2.285714입니다. 7 >= 4 >= 2.285714이므로 산술-기하-조화 부등식이 성립함을 확인할 수 있습니다.
조화평균의 속력 예시: 같은 거리를 각각 30 km/h와 60 km/h로 주행하면 평균 속력은 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h이며, 산술평균인 45 km/h가 아닙니다. 더 느린 속력으로 이동하는 데 더 많은 시간이 소요되기 때문입니다.
흔한 실수
- 성장률에 산술평균을 사용하는 것: +50%인 해 다음에 -50%인 해가 오면 산술평균은 0%이지만 투자 자산은 전체적으로 25% 감소합니다. 계수 1.5와 0.5의 기하평균 (약 0.866)이 실제 평균 변화를 반영합니다.
- 동일한 거리에 대한 속력을 산술평균으로 평균내는 것 — 거리가 같은 구간에는 조화평균을 사용해야 합니다.
- 0 또는 음수가 포함된 데이터에 기하평균이나 조화평균을 적용하는 것. 이 경우 두 평균은 정의되지 않습니다.
- 세 평균이 일치할 것이라고 기대하는 것 — 목록의 모든 값이 동일할 때에만 세 평균이 같아집니다.
자주 묻는 질문
산술평균과 기하평균의 차이는 무엇입니까?
산술평균은 값을 더한 뒤 개수로 나누고, 기하평균은 값을 모두 곱한 뒤 n제곱근을 취합니다. 산술평균은 덧셈으로 결합되는 양에 적합하고, 기하평균은 성장 계수처럼 곱셈으로 결합되는 양에 적합합니다. 값 1, 4, 16의 경우 산술평균은 7이고 기하평균은 4입니다.
조화평균은 언제 사용해야 합니까?
분자가 고정된 비율을 평균낼 때 조화평균을 사용합니다. 대표적인 경우가 동일한 거리에 대한 평균 속력입니다. 같은 거리를 30 km/h와 60 km/h로 주행하면 평균은 2 / (1/30 + 1/60) = 40 km/h이며 45 km/h가 아닙니다. 더 느린 속력에서 더 많은 시간을 보내기 때문입니다. 조화평균은 주가수익비율의 평균이나 병렬 전기 저항의 합성에도 사용됩니다.
이 계산기가 때때로 산술평균만 표시하는 이유는 무엇입니까?
기하평균과 조화평균은 목록의 모든 값이 양수일 때에만 정의됩니다. 0이 있으면 기하평균은 0으로 무너지고 조화평균은 0으로 나누게 되어 정의되지 않으며, 음수가 있으면 곱의 n제곱근이 실수가 아닐 수 있습니다. 목록에 0 또는 음수가 포함되면 산술평균만 보고됩니다.
투자 수익률에 기하평균이 적합한 이유는 무엇입니까?
투자 수익률은 곱셈적으로 복리 적용됩니다. 포트폴리오가 연속된 해에 각각 1.5배 (50% 상승)와 0.5배 (50% 하락)로 변하면 전체 계수는 1.5 x 0.5 = 0.75입니다. 계수의 기하평균 sqrt(0.75), 약 0.866이 동일한 결과를 만드는 일정한 연간 계수이며, 이는 연평균 약 13.4%의 손실에 해당합니다. 산술평균 0%는 이를 전혀 반영하지 못합니다.
산술평균은 항상 세 평균 중 가장 큽니까?
양수로 이루어진 데이터 집합에서는 그렇습니다. 산술평균은 기하평균 이상이고, 기하평균은 조화평균 이상입니다. 등호는 모든 값이 동일할 때에만 성립합니다. 이는 고전 대수학의 표준 결과인 AM-GM-HM 부등식입니다.
참고 자료
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Means." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Littlewood JE, Polya G. Inequalities. Cambridge University Press, 1934 (AM-GM-HM inequality).