z-점수 이해하기
아래 표는 대표적인 z-점수와 그에 대응하는 표준정규 백분위를 보여 줍니다.
| Z-점수 | 백분위 (아래쪽 비율) | 해석 |
|---|---|---|
| -2 | 2.28% | 평균보다 표준편차 2배 아래. 이례적으로 낮음 |
| -1 | 15.87% | 평균보다 표준편차 1배 아래 |
| 0 | 50% | 정확히 평균 (정규분포에서는 중앙값이기도 함) |
| +1 | 84.13% | 평균보다 표준편차 1배 위 |
| +2 | 97.72% | 평균보다 표준편차 2배 위. 이례적으로 높음 |
| +3 | 99.87% | 평균보다 표준편차 3배 위. 정규성 하에서는 드묾 |
- 백분위는 기저 분포가 근사적으로 정규라고 가정합니다. 치우쳤거나 꼬리가 두꺼운 자료에서는 z-점수 자체는 잘 정의되더라도 z에서 백분위로의 변환은 신뢰하기 어렵습니다.
- 경험적 규칙에 따르면 정규분포의 약 68%가 z = -1에서 +1 사이에, 약 95%가 -2에서 +2 사이에, 약 99.7%가 -3에서 +3 사이에 놓입니다.
- z-점수는 값이 좋은지 나쁜지를 말해 주지 않습니다. 오직 그 값이 자기 분포의 평균에서 얼마나 떨어져 있는지만 알려 줍니다.
z-점수란 무엇입니까?
z-점수는 평균으로부터의 거리를 표준편차 단위로 표현하여 값을 표준화합니다. z-점수가 0이면 값이 평균과 같다는 뜻이고, +1이면 평균보다 표준편차 1배 위, -2이면 평균보다 표준편차 2배 아래라는 뜻입니다. 표준화는 서로 다른 척도의 측정값을 공통 기준 위에 놓아 주며, 바로 그 때문에 z-점수는 서로 다른 분포에 속한 시험 성적, 성장 측정치, 검사 수치를 비교하는 데 사용됩니다.
기저 분포가 정규분포(종 모양)일 때 z-점수는 표준정규 누적분포함수(CDF)를 통해 백분위로 직접 대응됩니다. CDF는 주어진 z보다 아래에 놓인 분포의 비율을 알려 줍니다. 예를 들어 정규분포의 약 84.13%가 z = 1보다 아래에, 약 97.72%가 z = 2보다 아래에 놓입니다. 이 계산기는 Abramowitz and Stegun 근사식(공식 7.1.26)으로 표준정규 CDF를 계산하며, 정확도는 약 7.5 x 10^-8 이내입니다.
백분위 해석은 정규성 가정에 의존합니다. z-점수는 어떤 자료에 대해서도 계산할 수 있지만, 정규 CDF로 백분위를 구하는 것은 분포가 근사적으로 정규일 때에만 정확합니다. 치우쳤거나 꼬리가 두꺼운 자료에서는 표시된 백분위가 오해를 부를 수 있습니다.
이 z-점수 계산기 사용법
- 표준화하려는 값 (x)을 입력합니다. 예를 들어 개인의 시험 점수입니다.
- 값이 나온 분포의 평균을 입력합니다.
- 분포의 표준편차를 입력합니다. 표준편차는 0보다 커야 합니다.
- z-점수, 백분위(정규성을 가정할 때 그 값보다 아래에 놓인 분포의 비율), 그리고 위쪽 비율을 확인합니다.
z-점수 공식
z-점수는 값에서 평균을 뺀 뒤 표준편차로 나눈 값입니다: z = (x - mean) / sd. z가 양수이면 값이 평균보다 위에 있고, 음수이면 아래에 있습니다.
계산 예제: x = 130, 평균 = 100, 표준편차 = 15 (전형적인 IQ 척도). z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. 이 값은 평균보다 정확히 표준편차 2배 위에 있습니다. 표준정규 CDF에서 z = 2보다 아래의 비율은 0.9772이므로 이 값은 97.72 백분위에 해당하고, 분포의 약 2.28%가 그보다 위에 놓입니다.
백분위는 표준정규 누적분포함수로부터 구합니다: 백분위 = CDF(z) x 100, 위쪽 비율 = (1 - CDF(z)) x 100. CDF에는 닫힌 형태의 식이 없으므로 이 계산기는 Abramowitz and Stegun (1964) 근사식 7.1.26을 사용합니다.
흔한 실수
- 명백히 정규분포가 아닌 자료에 대해 z-점수를 백분위로 변환하는 것. 정규 CDF 대응은 종 모양 분포를 전제로 합니다.
- 부호 방향을 혼동하는 것. 음의 z-점수는 값이 평균보다 아래에 있다는 뜻이지 오류나 불가능한 결과가 아닙니다.
- 표준편차 대신 분산으로 나누는 것. z 공식의 분모는 표준편차입니다.
- 한 집단의 모평균과 표준편차를 사용하여 다른 집단의 값을 표준화하는 것. 이는 의미 없는 비교를 낳습니다.
- 백분위와 백분율 점수를 혼동하는 것. 97.7 백분위에 있다는 것은 분포의 약 97.7%보다 높은 점수라는 뜻이지 시험에서 97.7%를 받았다는 뜻이 아닙니다.
자주 묻는 질문
z-점수는 어떻게 계산합니까?
값에서 평균을 뺀 다음 표준편차로 나눕니다: z = (x - mean) / sd. 예를 들어 평균 100, 표준편차 15인 척도에서 점수 130은 z = (130 - 100) / 15 = 2가 되며, 이는 그 점수가 평균보다 표준편차 2배 위에 있다는 뜻입니다.
z-점수 2는 몇 백분위입니까?
약 97.72 백분위입니다. z = 2에서 표준정규 누적분포함수의 값은 0.9772이며, 이는 정규분포의 97.72%가 그 값보다 아래에, 2.28%가 위에 놓인다는 뜻입니다.
좋은 z-점수란 무엇입니까?
z-점수는 등급이 아니라 중립적인 측정값이므로, 특정 z가 바람직한지는 전적으로 맥락에 달려 있습니다. z = +2는 시험 점수로는 훌륭하지만 혈압으로는 우려스러운 값입니다. 정규분포의 5% 미만만 그 범위 밖에 놓이기 때문에 대략 -2보다 작거나 +2보다 큰 값은 관례적으로 이례적이라고 봅니다.
z-점수가 음수일 수 있습니까?
그렇습니다. 음의 z-점수는 단지 값이 평균보다 아래에 있다는 뜻입니다. 예를 들어 z = -1.5는 평균보다 표준편차 1.5배 아래의 값을 나타내며, 정규분포에서 대략 6.68 백분위에 해당합니다.
z-점수에는 정규분포가 필요합니까?
z-점수 자체, 즉 평균으로부터의 거리를 표준편차 단위로 나타낸 값은 어떤 분포에 대해서도 정의됩니다. 그러나 이 계산기처럼 표준정규 CDF를 사용하여 z-점수를 백분위로 변환하는 것은 분포가 근사적으로 정규일 때에만 정확합니다. 치우친 자료에서는 백분위를 자료로부터 직접 계산해야 합니다.
표시되는 백분위는 얼마나 정확합니까?
표준정규 CDF에는 정확한 닫힌 형태의 식이 없으므로 이 계산기는 Abramowitz and Stegun (1964)의 유리함수 근사식 7.1.26을 사용합니다. 이 근사의 절대오차는 7.5 x 10^-8 미만으로, 화면에 표시되는 소수점 두 자리보다 훨씬 정밀합니다.
참고 자료
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (normal CDF approximation 7.1.26).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standardized values and the normal distribution).