🔔 정규분포 계산기

정규분포 결과 이해하기

아래 표는 정수 z 점수에서의 표준정규 누적확률 Φ(z)를 표준정규분포표와 일치하는 값으로 정리한 것입니다.

• 경험적 규칙: 정규분포의 약 68.27%가 평균에서 ±1 표준편차 이내에, 약 95.45%가 ±2 표준편차 이내에, 약 99.73%가 ±3 표준편차 이내에 놓입니다.
• "두 값 사이" 방식에서 상한 b는 x보다 크거나 같아야 합니다. b가 x보다 작으면 계산기는 결과를 반환하지 않습니다.
• 정규분포는 연속분포이므로 하나의 정확한 값이 나올 확률은 0입니다. 구간(작을, 클, 사이)만 0이 아닌 확률을 가집니다.
• 이 계산은 변수가 실제로 정규분포를 따른다는 전제 위에 있습니다. 치우쳤거나 범위가 제한되었거나 꼬리가 두꺼운 데이터는 z 점수를 계산할 수는 있어도 이 확률에서 상당히 벗어날 수 있습니다.

정규분포란 무엇인가요?

정규분포(가우스 분포)는 연속적이고 좌우 대칭인 종 모양의 확률분포로, 두 개의 모수만으로 완전히 결정됩니다. 중심을 정하는 평균(μ)과 퍼짐 정도를 정하는 표준편차(σ)입니다. 키, 측정 오차, 표준화 시험 점수 등 자연적으로 나타나거나 측정되는 많은 양이 근사적으로 정규분포를 따르며, 그래서 이 분포는 통계 이론과 실무의 중심에 있습니다.

연속분포는 하나의 점이 아니라 구간에 확률을 부여하므로, 이 계산기는 '값의 몇 퍼센트가 x보다 작은가', 'x보다 큰가', 'x와 b 사이에 있는가' 형태의 질문에 답합니다. '정확히 x일 확률은 얼마인가'라는 질문에는 답하지 않으며, 연속분포에서 그 값은 언제나 0입니다.

모든 정규분포는 z 점수 z = (x − μ) / σ를 계산해 표준정규분포(평균 0, 표준편차 1)로 변환할 수 있습니다. 그러면 x 값 구간에 대응하는 확률을 표준정규 누적분포함수(CDF)에서 읽을 수 있으며, 이 함수는 흔히 Φ(z)로 표기하고 z 이하에 놓인 분포의 비율을 나타냅니다.

경험적 규칙(68-95-99.7 규칙)은 표준정규분포의 퍼짐을 요약합니다. 값의 약 68.27%가 평균에서 표준편차 1 이내에, 약 95.45%가 표준편차 2 이내에, 약 99.73%가 표준편차 3 이내에 놓입니다.

이 정규분포 계산기 사용법

1. 분포의 평균(μ)과 표준편차(σ)를 입력합니다. 표준편차는 0보다 커야 합니다.
2. 계산 방식을 선택합니다. 특정 값보다 작을 확률, 클 확률, 또는 두 값 사이에 있을 확률입니다.
3. 값 x를 입력합니다. "두 값 사이" 방식에서는 상한 b도 입력해야 하며, b는 x보다 크거나 같아야 합니다.
4. 확률(백분율과 0에서 1 사이의 비율)과 x에 대응하는 z 점수를 확인합니다.

정규분포 확률 계산 공식

모든 계산은 x를 z 점수로 표준화하는 것으로 시작합니다. z = (x − μ) / σ입니다. 그런 다음 표준정규 CDF인 Φ(z)에서 확률을 읽습니다. 이 함수는 간단한 닫힌 형태의 식이 없어 수치적으로 계산합니다.

작을 확률 방식: P(X < x) = Φ(z). 클 확률 방식: P(X > x) = 1 − Φ(z). 두 값 사이 방식: P(x < X < b) = Φ(zᵦ) − Φ(zₓ)이며, 여기서 zᵦ는 상한 b의 z 점수입니다.

계산 예시(작을 확률 방식): 평균 = 100, 표준편차 = 15, x = 120. z = (120 − 100) / 15 = 1.3333입니다. 표준정규분포에서 Φ(1.3333)을 찾으면 약 0.9088이므로 P(X < 120) ≈ 90.88%입니다.

계산 예시(두 값 사이 방식, 표준정규): 평균 = 0, 표준편차 = 1, −1과 +1 사이입니다. 하한 z = −1, 상한 z = +1이므로 Φ(1) − Φ(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6827, 즉 P(−1 < X < 1) ≈ 68.27%이며 이는 경험적 규칙의 첫 단계입니다.

흔한 실수

• 잘못된 방식을 선택하는 것. 같은 x라도 "작을", "클", "사이" 방식은 서로 다른 확률을 주며, 이를 혼동하는 일이 자주 있습니다.
• "두 값 사이" 방식에서 상한 b를 x보다 작게 입력하는 것. 이 계산기에서 유효한 구간이 아닙니다.
• 하나의 정확한 값에 대한 확률을 의미 있게 다루는 것. 정규분포 같은 연속분포에서 P(X = x)는 언제나 0입니다.
• 확인 없이 데이터가 정규분포라고 가정하는 것. 여기서 나오는 확률은 기저 변수가 근사적으로 정규분포일 때만 정확합니다.
• 표준편차와 분산을 혼동하는 것. 이 계산기는 표준편차(σ)를 요구하며 그 제곱을 요구하지 않습니다.

자주 묻는 질문

참고 자료

1. National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1: Normal distribution. nist.gov.
2. Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (the normal distribution and standardized values).
3. Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 1964 (standard normal distribution tables).
4. Casella G, Berger RL. Statistical Inference (2nd ed). Duxbury, 2002 (the normal distribution and its properties).